Групи порядку $p^4$ як адитивні групи локальних майже-кілець

Ірина Раєвська; Марина Раєвська

doi:10.3842/umzh.v76i5.8053

Ірина Раєвська Варшавський університет, Польща; Інститут математики НАН України, Київ
Марина Раєвська Варшавський університет, Польща; Інститут математики НАН України, Київ http://orcid.org/0000-0002-6135-7818

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i5.8053

Ключові слова: Локальне майже-кільце, майже-кільце з одиницею, неабелева група

Анотація

УДК 512.6

Майже-кільця можна розглядати як узагальнення асоціативних кілець. У загальних рисах, майже-кільце — це кільце $(R,+,\cdot),$ де операція додавання необов'язково абелева та принаймні один дистрибутивний закон має місце. Майже-кільце з одиницею називається локальним, якщо множина всіх необоротних елементів утворює підгрупу в адитивній групі. Зокрема, кожна група є адитивною групою деякого майже-кільця, але не майже-кільця з одиницею. Визначення неабелевих скінченних $p$-груп, які є адитивними групами локальних майже-кілець, є відкритою проблемою.

Групи класу нільпотентності $2$ та $3$ порядку $p^4$ як адитивні групи локальних майже-кілець розглядалися в [{\sf\scriptsize https://arxiv.org/abs/2303.17567} та {\sf\scriptsize https://arxiv.org/abs/2309.14342}]. Було показано, що для $p>3$ існують локальні майже-кільця на одній з чотирьох неізоморфних груп класу нільпотентності $3$ порядку $p^4.$ У цій статті продовжено дослідження груп класу нільпотентності $3$ порядку $p^4.$ Зокрема, показано, що ще одна з цих груп є адитивною групою локального майже-кільця, а отже майже-кільця з одиницею. В системі комп'ютерної алгебри GAP побудовано приклади локальних майже-кілець на цій групі.

Посилання

B. N. Al-Hasanat, A. Almazaydeh, On classification of groups of order $p^4,$ where $p$ is an odd prime, Int. J. Math. and Comput. Sci., 17, № 4, 1569–1593 (2022).

B. Amberg, P. Hubert, Ya. Sysak, Local near-rings with dihedral multiplicative group, J. Algebra, 273, 700–717 (2004). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2003.10.007

W. Burnside, Theory of groups of finite order, University Press, Cambridge (1897).

J. R. Clay, J. J. (Jr.) Malone, The near-rings with identities on certain finite groups, Math. Scand., 19, 146–150 (1966). DOI: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-10803

S. Feigelstock, Additive groups of local near-rings, Comm. Algebra, 34, 743–747 (2006). DOI: https://doi.org/10.1080/00927870500388042

The GAP Group, GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.12.0 (2022); https://www.gap-system.org.

C. J. Maxson, On the construction of finite local near-rings (I): on non-cyclic Abelian $p$-groups, Quart. J. Math. Oxford (2), 21, 449–457 (1970). DOI: https://doi.org/10.1093/qmath/21.4.449

C. J. Maxson, On the construction of finite local near-rings (II): on non-Abelian $p$-groups, Quart. J. Math. Oxford (2), 22, 65–72 (1971). DOI: https://doi.org/10.1093/qmath/22.1.65

I. Raievska, M. Raievska, Groups of the nilpotency class 2 of order $p^4$ as additive groups of local nearrings (2023); https://arxiv.org/abs/2303.17567+.

I. Raievska, M. Raievska, Groups of the nilpotency class $3$ of order $p^4$ as additive groups of local nearrings (2023); https://arxiv.org/abs/2309.14342.

I. Raievska, M. Raievska, Lower bounds for the number of local nearrings on groups of order $p^3$ (2023); https://arxiv.org/abs/2205.08359.

I. Raievska, M. Raievska, Y. Sysak, Local NR, Package of Local Nearrings, Version 1.0., 3 (GAP package) (2021); https://gap-packages.github.io/LocalNR. DOI: https://doi.org/10.18523/2617-7080i2018p38-48

I. Raievska, M. Raievska, Ya. Sysak, Database Endom625: (v0.2) [Data set], Zenodo (2023); https://zenodo.org/ record/7613145#.ZChqJXZBy39+.

I. Raievska, Ya. P. Sysak, Finite local nearrings on metacyclic Miller–Moreno $p$-groups, Algebra and Discrete Math., 13, № 1, 111–127 (2012).

І. Ю. Раєвська, М. Ю. Раєвська, Локальні майже-кільця з обмеженнями на мультиплікативні групи та підгрупи необоротних елементів, Науковий часопис НПУ імені М. П. Драгоманова, Сер. 1, № 14, 134–145 (2013).