Про задачу розсіяння та задачу відновлення форми графа

Ольга Бойко; Ольга Мартинюк; Вячеслав Пивоварчик

doi:10.3842/umzh.v76i8.8151

Ольга Бойко Південноукраїнський національний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського, Одеса
Ольга Мартинюк Південноукраїнський національний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського, Одеса
Вячеслав Пивоварчик Південноукраїнський національний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського, Одеса; Університет м. Вааса, Фінляндія

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i8.8151

Ключові слова: Рівняння Штурма-Ліувіля, власне значення, рівнобічне дерево, зірковий граф, крайова умова Діріхле, крайова умова Неймана, півнескінченне ребро, S-функція, асимптотика.

Анотація

УДК 517.9

Розглянуто задачу розсіяння Штурма–Ліувілля, породжену рівнянням Штурма–Ліувілля на дереві, яке складається з рівнобічного компактного піддерева з жилою (напівнескінченним ребром), приєднаною до цього компактного підграфа. При цьому припускається, що потенціал на жилі тотожно нульовий, а потенціали на скінченних ребрах – дійсні функції з $L_2$. Показано як знайти форму дерева, використовуючи S-функцію та власні значення задачі розсіяння.

Посилання

J. von Below, A characteristic equation associated with an eigenvalue problem on $c^2$-networks, Linear Algebra and Appl., 71, 309–325 (1985). DOI: https://doi.org/10.1016/0024-3795(85)90258-7

R. Band, A. Sawicki, U. Smilansky, Scattering from from isospectral quantum graphs, J. Phys. A: Math. and Theor., 43, № 41 (2010). DOI: https://doi.org/10.1088/1751-8113/43/41/415201

R. Band, A. Sawicki, U. Smilansky, Note on the role of symmetry in scattering from isospectral graphs and drums; math-ph> arXiv:1110.2475.

J. Boman, P. Kurasov, R. Suhr, Schrödinger operators on graphs and geometry II. Spectral estimates for $L_1$-potentials and Ambartsumian's theorem, Integral Equat. and Oper. Theory, 90 (2018); https: // doi.org/ 10.107/ s 00020-018 2467-1. DOI: 10.1007/s00020-018-2467-1. DOI: https://doi.org/10.1007/s00020-018-2467-1

O. Boyko, M. Martynyuk, V. Pivovarchik, On recovering the shape of a quantum tree from the spectrum of the Dirichlet boundary problem, Mat. Stud., 60, № 2, 162–172 (2023). (See the version improved according to the remarks of a referee in https://arxiv.org/abs/2211.11280). DOI: https://doi.org/10.30970/ms.60.2.162-172

R. Carlson, V. Pivovarchik, Spectral asymptotics for quantum graphs with equal edge lengths, J. Phys. A: Math. and Theor., 41, Article 145202 (2008). DOI: https://doi.org/10.1088/1751-8113/41/14/145202

A. Chernyshenko, V. Pivovarchik, Recovering the shape of a quantum graph, Integral Equat. and Oper. Theory, 92 (2020). DOI: https://doi.org/10.1007/s00020-020-02581-w

D. E. Edmunds, W.D. Evans, Spectral theory and differential operators, Clarendon Press, Oxford (1989).

I. Gohberg, M. Krein, Introduction to the theory of linear non-selfadjoint operators in Hilbert space, Amer. Math. Soc. (1969). DOI: https://doi.org/10.1090/mmono/018

B. Gutkin, U. Smilansky, Can one hear the shape of a graph}? J. Phys. A: Math. and Gen., 34, 6061–6068 (2001). DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/34/31/301

O. Hul, M. Lawniczak, S. Bauch, A. Sawicki, M. Kus, L. Sirko, Are scattering properties of graphs uniquely connected to their shapes? Phys. Rev. Lett., 109, Article 040402 (2012). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.109.040402

P. Kurasov, Spectral geometry of graphs, Oper. Theory: Adv. and Appl., 293, Birkhäuser/Springer (2024); https://doi.org/10.1007/978-3-662-67872-5. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67872-5

P. Kurasov, S. Naboko, Rayleigh estimates for differential operators on graphs, J. Spectr. Theory, 4, № 2, 211–219 (2014); DOI 10.4171/JST. DOI: https://doi.org/10.4171/jst/67

P. Kurasov, F. Stenberg, On the inverse scattering problem on branching graphs, J. Phys. A, 35, 101–121 (2002). DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/35/1/309

Y. Latushkin, V. Pivovarchik, Scattering in a forked-shaped waveguide, Integral Equat. and Oper. Theory, 61, 365–399 (2008). DOI: https://doi.org/10.1007/s00020-008-1597-2

C.-K. Law, V. Pivovarchik, Characteristic functions of quantum graphs, J. Phys A: Math. and Theor., 42, Article 035302 (2009). DOI: https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/3/035302

V. A. Marchenko, Sturm–Liouville operators and applications, revised ed., AMS Chelsea Publishing, Providence, RI (2011). DOI: https://doi.org/10.1090/chel/373

M. Möller, V. Pivovarchik, Spectral theory of operator pencils, Hermite–Biehler functions, and their applications, Birkhäuser, Cham (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-17070-1

M. Möller, V. Pivovarchik, Direct and inverse finite-dimensional spectral problems on graphs, Oper. Theory: Adv. and Appl., 283, Birkhäuser/Springer (2020); https://www.springer.com/gp/book/9783030604837. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-60484-4

D. Mugnolo, V. Pivovarchik, Distinguishing co-spectral quantum graphs by scattering, J. Phys. A: Math. and Theor., 56, № 9 (2023); DOI: 10.1088/1751-8121/acbb44,arXiv: 2211.05465. DOI: https://doi.org/10.1088/1751-8121/acbb44

Y. Okada, A. Shudo, S. Tasaki, T. Harayama, Can one hear the shape of a drum}?: revisited. J. Phys. A: Math. and Gen., 38 (2005); https://doi.org/10.1007/s00020-024-02759-6. DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/38/9/L02

V. Pivovarchik, Scattering in a loop-shaped waveguide, in: Recent Advances in Operator Theory, Groningen (1998), Birkhäuser, Basel and Boston (2001), p.~527–543. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8323-8_24

T. Regge, Construction of potential from resonances, Nuovo Cimento, 9, 491–503, 671–679 (1958). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02725104