Обмеженість $L$-індексу за напрямком композиції функцій, цілих на зрізках, та функцій, голоморфних на зрізках в одиничній кулі

Анотація

УДК 517.55

Вивчається композиція  $F(z):=f(\underbrace{\Phi(z),\ldots,\Phi(z)}_{m{\text{разів}}})\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$, $n\geq 1, m\geq 1,$ де $\Phi\colon\mathbb{B}^n\to\mathbb{C}$ — голоморфна на зрізках в одиничній кулі функція, а $f\colon\mathbb{C}^m\to\mathbb{C}$  — функція, голоморфна на зрізках в усьому $m$-вимірному комплекс\-ному просторі $\mathbb{C}^m$, тобто зріз-функція $g_z(\tau)=f(z+\mathbf{b}\tau)$ — ціла функція змінної $\tau\in\mathbb{C}$ при кожному фіксованому $z\in\mathbb{C}^m$ та для заданого напрямку $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^m\setminus\{0\}$. Голоморфність на зрізці в одиничній кулі $\mathbb{B}^n$ означає, що для заданого напрямку $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$ і для кожної точки $z^0$ з одиничної кулі відповідна зріз-функція голоморфна на звуженні початкової функції на зрізку $\{z^0+t\mathbf{b}\colon t\in\mathbb{C}\}\cap\mathbb{B}^n.$  Додаткове припущення про сукупну неперервність для цих функцій дозволяє побудувати аналог теорії цілих функцій обмеженого індексу. Відповідні результати також застосовні до вивчення властивостей голоморфних на зрізках розв'язків диференціальних рівнянь з похідними за напрямком, описують локальне поводження та розподіл значень. Знайдено умови, достатні для обмеженості $L$-індексу за напрямком $\mathbf{b}$ для функції $F(z).$ Деякі з отриманих результатів також нові в одновимірному випадку, а саме для $n=1,$ $m=1,$ тоді куля зводиться до одиничного круга. Відповідні умови знайдено двома різними підходами у теорії функцій обмеженого індексу: аналогом теореми Хеймана та аналогом логарифмічного критерію.  Також наведено приклади функцій, композиція яких задовольняє всі умови лише однієї з доведених теорем.