Матричні розв’язки рівняння $\mathfrak{B}U_t= -U_{xx} + 2U^3+\mathfrak{B} [U_x,U]+4cU$: розвиток методу оберненої задачі розсіяння

І.-П. П.  Сироїд

І.-П. П. Сироїд Ін-т прикл. пробл. механіки і математики АН України, Львів

Ключові слова: -

Анотація

Знайдені комплексні матричні розв’язки нелінійного рівняння Шредінгера $\mathfrak{B}Ut = -U_{xx}+2U^3+\mathfrak{B}[U_x, U]+4cU$. При цьому метод оберненої задачі розсіяння одержує природний розвиток. А саме, для несамоспряженої $\tilde L — А$ пари Лакса, що виникає для цього рівняння, враховано наявність ланцюжків приєднаних векторів у оператора $\tilde L$ за допомогою відповідних нормувальних ланцюжків. Одержана теорема єдиності для задачі Коші для досліджуваного рівняння. Тут $\mathfrak{B}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}, [M, N] = MN — NM$, $c$ — параметр.

Посилання

Method for solving the Korteveg-de Vries equation / C. S. Gardner, J. M. Green, M. D. Kruskal, R. M. Miura / Phys. Rev. Lett.— 1967.— 19, N 19.—P. 1095—1097.

Теория солитонов. Метод обратной задачи/В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский.— М. : Наука, 1980.— 324 с.

Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты / Ю. А. Митропольский, Н. Н. Боголюбов (мл.), А. К. При карпатский, В. Г. Самойленко.— Киев : Наук. думка, 1987.— 296 с.

Марченко В. А. Операторы Штурма—Лиувилля и их приложения.— Киев : Наук, думка, 1977.— 331 с.

Lax Р. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves//Communs Pure and Appl. Math.— 1968.— 21.—P. 467—490.

Захаров В. E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах//Журн. эксперим. и теорет. физики.— 1971.—61, № 1.—С. 118—134.

Тахтаджян Л. А., Фадеев Л. Д. Гальмитонов поход в теории солитонов.— М. : Наука, 1986.— 528 с.

Нижник Л. П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений.— Киев: Наук. думка, 1991.— 232 с.

Лянце В. Э. Аналог обратной задачи рассеяния для несамосопряженного оператора // Мат. сб.— 1967.— 72, № 4.— С. 537—557.

Гасымов М. Г. Обратная задача теории рассеяния для системы уравнений Дирака порядка $2n$// Тр. Моск. мат. о-ва.— 1968.— 19.— С. 41—112.

Фролов И. С. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси // Докл. АН СССР.— 1972.— 207, № 1.— С. 44—47.

Максудов Ф. Г., Велиев С. Г. Факторизация матрицы рассеяния для системы уравнений Дирака на всей оси// Тр. II Всесоюзн. летн. мат. школы по спектр. теории операторов.— Баку: Элм, 1979.— С. 121—133.

Блащак В. А. Обратная задача теории рассеяния для несамосопряженного оператора Штурма—Лиувилля // Тр. летн. школы по спектральной теории операторов и теории представлений групп.— Баку : Элм, 1975.— С. 11—19.

Максудов Ф. Г., Велиев С. Г, Обратная задача рассеяния для несамосопряженного оператора Дирака на всей оси//Докл. АН СССР.— 1975.— 225, №_6.— С. 1263— 1266.

Гахов Ф. Д. Краевые задачи.— М. : Физматгиз, 1963.— 639 с.

Фам Лой By. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси И Укр. мат. журн,— 1972.— 24, № 5.— С. 667—675.

Сыроид И.-П. П. О дискретном спектре одномерного оператора Дирака // Функцион. анализ.— Ульяновск, 1987.— С. 182—186.

Сыроид И.-П. П. Условия отсутствия спектральных особенностей у несамосопряженного оператора Дирака в терминах потенциала // Укр. мат. журн.— 1986.— 38, № 3.— С. 352—359.

Сироїд І.-П. П. Спектральність оператора Дірака в термінах потенціалу // Допов. АН УРСР. Сер. А.— 1986.— № 12.— С. 8—10.

Сыроид И.-П. П. Комплексные решения общего уравнения Кортевега — де Фриза: метод обратной задачи // Укр, мат, журн.— 1990.— 42, № 2.— С. 223—230.