On the Fragmen–Lindelof theorems for quasilinear elliptic equations of the second order
Abstract
Analogues are formulated of the well–known, in the theory of analytic functions, Phragmen–Lindelöf theorem for the gradients of solutions of a broad class of quasilinear equations of elliptic type. Examples are given illustrating the accuracy of the results obtained for the gradients of solutions of the equations of the form $div(|\nabla u|^{\alpha–2}\nabla u)=f(x,u,\nabla u)$, where $f(x,u,\nabla u)$ is a function locally bounded in ${\mathbb R}^{2n+1}$. $f(x,u,\nabla u) = 0$, $u f (x,u,\nabla u) \geq c| u |^{1+q}(1+|\nabla u|)^{\gamma}$, $\alpha > 1$, $c > 0$, $q > 0$, $\gamma$ is an arbitrary real number, and $n\geq 2$. The basic role in the technique employed in the paper is played by the apparatus of capacitary characteristics.
References
I. Миклюков В.М. Емкость и обобщенный принцип максимума для квазилинейных уравнений эллиптического типа // Докл. АН СССР.–1980.– 250, №6. – С. 1318–1320.
Keller J.B. On solutions of $Δ u=f(u)$ // Communs Pure and Appl. Math.–1957.– 10, № 4. –P.503–510.
Osserman R. On the inequality $ Δ u ≥ f(u)$ // Pacif. J. Math.–1957.– 7, № 4. – P. 1641–1647.
Redheffer R. On the inequality $Δ u ≥ f(u,gradu)$ // J. Math. Anal. and Appl.–1960. – 1.–P.277–299.
Похожаев С. И. О краевой задаче для уравнений $Δ u=u^2$ // Докл. АН СССР.– 1961.–140, №3.– С.518–521.
Veron L. Comportement asymptotique des solutions d’equations elliptiques semilinearires dans $ℝ^N$ //Ann. Math.Pure Appl.–1981. – 127.–P.25–50.
Brezis H., Veron L. Removable singularities for some nonlinear elliptic equations// Arch. Ration. Mech. and Anal.–1980.– 75.–№ 1.– P.1–6.
Chipot N.. Weissler F.B. Some blow up results for a nonlinear parabolic equation with a gradient term–Minneapolis, 1987.–42p.–(IMA Prepr. / Inst. Math. and its Appl., Univ. of Minnesota; №298).
Кондратьев В. А., Ландис E. M. Полулинейные уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Мат. заметки.–1988. – 44, №3.–С.457–468.
Кондратьев В. А., Ландис Е. М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Мат. сб.–1988.– 135,№ 3.–С.346–360.
II. Кристев Д. И. О поведении решений некоторых полулинейных эллиптических и параболических неравенств // Дифферент уравнения.–1989,– 25, № 8.–С.1368–1374.
Курта В. В. О качественных свойствах решений некоторых классов квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Докл. АН УССР. Сер. А.–1990.–№12. – С.12–14.
Миклюков В. М.Емкостные методы в задачах нелинейного анализа : Автореф. дис. ... д–ра физ.–мат. наук.–Тюмень, 1980.–22с.
Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.–М.: Наука, 1983.–284с.
Copyright (c) 1992 V. V. Kurta
![Creative Commons License](http://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png)
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.