О теоремах Фрагмена–Линделефа для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка

В. В. Курта

В. В. Курта Ин-т прикл. математики и механики АН Украины, Донецк

Анотація

Сформульовані аналоги добре відомої в теорії аналітичних функций теореми Фрагмена–Лінделефа для градієнтів розв’язків широкого класу квазілінійних рівнянь еліптичного типу. Наведені приклади, що ілюструють точність одержаних результатів для градієнтів розв’язків рівнянь виду $div(|\nabla u|^{\alpha–2}\nabla u)=f(x,u,\nabla u)$, де $f(x,u,\nabla u)$ – локально обмежена в ${\mathbb R}^{2n+1}$ функція, $f(x,u,\nabla u) = 0$, $u f (x,u,\nabla u) \geq c| u |^{1+q}(1+|\nabla u|)^{\gamma}$, $\alpha > 1$, $c > 0$, $q > 0$, $\gamma$ – довільне дійсне число, $n\geq 2$. Основну роль у використаній в роботі техніці відіграє апарат ємнісних характеристик.

Посилання

I. Миклюков В.М. Емкость и обобщенный принцип максимума для квазилинейных уравнений эллиптического типа // Докл. АН СССР.–1980.– 250, №6. – С. 1318–1320.

Keller J.B. On solutions of $Δ u=f(u)$ // Communs Pure and Appl. Math.–1957.– 10, № 4. –P.503–510.

Osserman R. On the inequality $ Δ u ≥ f(u)$ // Pacif. J. Math.–1957.– 7, № 4. – P. 1641–1647.

Redheffer R. On the inequality $Δ u ≥ f(u,gradu)$ // J. Math. Anal. and Appl.–1960. – 1.–P.277–299.

Похожаев С. И. О краевой задаче для уравнений $Δ u=u^2$ // Докл. АН СССР.– 1961.–140, №3.– С.518–521.

Veron L. Comportement asymptotique des solutions d’equations elliptiques semilinearires dans $ℝ^N$ //Ann. Math.Pure Appl.–1981. – 127.–P.25–50.

Brezis H., Veron L. Removable singularities for some nonlinear elliptic equations// Arch. Ration. Mech. and Anal.–1980.– 75.–№ 1.– P.1–6.

Chipot N.. Weissler F.B. Some blow up results for a nonlinear parabolic equation with a gradient term–Minneapolis, 1987.–42p.–(IMA Prepr. / Inst. Math. and its Appl., Univ. of Minnesota; №298).

Кондратьев В. А., Ландис E. M. Полулинейные уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Мат. заметки.–1988. – 44, №3.–С.457–468.

Кондратьев В. А., Ландис Е. М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Мат. сб.–1988.– 135,№ 3.–С.346–360.

II. Кристев Д. И. О поведении решений некоторых полулинейных эллиптических и параболических неравенств // Дифферент уравнения.–1989,– 25, № 8.–С.1368–1374.

Курта В. В. О качественных свойствах решений некоторых классов квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Докл. АН УССР. Сер. А.–1990.–№12. – С.12–14.

Миклюков В. М.Емкостные методы в задачах нелинейного анализа : Автореф. дис. ... д–ра физ.–мат. наук.–Тюмень, 1980.–22с.

Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.–М.: Наука, 1983.–284с.