Iterative solution of a nonlinear static beam equation

G.  Berikelashvili; A.  Papukashvili; J. Peradze

doi:10.37863/umzh.v72i8.833

G. Berikelashvili Georg. Techn. Univ., Tbilisi; A. Razmadze Math. Inst., Tbilisi, Georgia
A. Papukashvili I. Javakhishvili Tbilisi State Univ.; I. Vekua Inst. Appl. Math., Tbilisi, Georgia
J. Peradze Georg. Techn. Univ., Tbilisi; I. Javakhishvili Tbilisi State Univ., Georgia

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i8.833

Анотація

УДК 519.6

Ітерацiйний розв’язок нелiнiйного рiвняння статичної балки

Розглядається крайова задача для нелінійного інтегро-диференціального рівняння $u''''-m \bigg(\int _0^l {u'}^2\,dx \bigg)u'' = f(x, u, u'),$ $m(z)\geq \alpha>0,$ $0\leq z < \infty,$ що моделює статичний стан балки Кірхгоффа. Задача зводиться до нелінійного інтегрального рівняння, яке розв'язується за допомогою ітераційного методу Пікара. Встановлено збіжність цього ітераційного процесу та отримано оцінку для похибки.

Посилання

C. Bernardi, M. I. M. Copetti, Finite element discretization of a thermoelastic beam, Archive ouverte HAL-UPMC, 29/05/2013, 23 p.

S. Fucik, A. Kufner, ˇ Nonlinear differential equations, Stud. Appl. Mech., 2. Elsevier Sci. Publ. Co., Amsterdam etc. 359 pp., ISBN: 0-444-99771-7 (1980).

G. Kirchhoff, Vorlesungen uber mathematische Physik ¨ , I. Mechanik, Teubner, Leipzig (1876).

T. F. Ma, Positive solutions for a nonlocal fourth order equation of Kirchhoff type, Discrete Contin. Dyn. Syst., 694 – 703, ISBN: 978-1-60133-010-9; 1-60133-010-3 (2007).

J. Peradze, A numerical algorithm for a Kirchhoff-type nonlinear static beam, J. Appl. Math., 2009, Article ID 818269 (2009), 12 p. https://doi.org/10.1155/2009/818269 DOI: https://doi.org/10.1155/2009/818269

J. Peradze, On an iteration method of finding a solution of a nonlinear equilibrium problem for the Timoshenko plate, Z. Angew. Math. und Mech., 91, № 12, 993 – 1001 (2011). https://doi.org/10.1002/zamm.201100016} DOI: https://doi.org/10.1002/zamm.201100016

K. Rektorys, Variational methods in mathematics, science and engineering, Springer Science & Business Media, 571 pp. ISBN: 90-277-0488-0 (2012).

H. Temimi, A. R. Ansari, A. M. Siddiqui, An approximate solution for the static beam problem and nonlinear integro-differential equations, Comput. Math. Appl., 62, № 8, 3132 – 3139 (2011), https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.08.026 DOI: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2011.08.026

S. Y. Tsai, Numerical computation for nonlinear beam problems, M. S. thesis, Nat. Sun Yat-Sen Univ., Kaohsiung, Taiwan (2005).

S. Woinowski-Krieger, The effect of an axial force on the vibration of hinged bars, J. Appl. Mech., 17, 35 – 36 (1950)