Characterizations of additive $\xi$-Lie derivations on unital algebras

Анотація

UDC 512.5

Характеризацiя адитивного $\xi$ -диференцiювання Лi на унiтальних алгебрах
Нехай $\mathscr{R}$ --- комутативне кільце з одиницею, а $\mathscr{U}$~--- унітальна алгебра над $\mathscr{R}$ (або полем $\mathbb{F}$).
$\mathscr{R}$-лінійне відображення $L:\mathscr{U}\rightarrow\mathscr{U}$ називається диференціюванням Лі на $\mathscr{U},$ якщо $L([u,v])=[L(u),v]+[u,L(v)]$ виконується для всіх $u,$ $v \in\mathscr{U}.$
Для скаляра $\xi\in\mathbb{F}$ адитивне відображення $L\colon \mathscr{U}\rightarrow\mathscr{U}$ називається адитивним $\xi$-диференціюванням Лі на $\mathscr{U},$ якщо $L([u,v]_{\xi})=[L(u),v]_{\xi}+[u,L(v)]_{\xi},$ де $[u,v]_{\xi}=uv-\xi vu$ виконується для всіх $u, v\in\mathscr{U}.$
У цій роботі при деяких припущеннях на $\mathscr{U}$ доведено, що кожне диференціювання Лі (відповідно, адитивне $\xi$-диференціювання Лі) ${L}$ на $\mathscr{U}$ має стандартний вигляд, тобто $L=\delta+\phi,$ де $\delta$ --- адитивне диференціювання на $\mathscr{U},$ а $\phi$ --- відображення $\phi\colon \mathscr{U}\rightarrow Z(\mathscr{U}),$ що зникає на $[u,v],$ якщо $uv=0$ у $\mathscr{U}.$
Більш того, охарактеризовано адитивне $\xi$-диференціювання Лі для $\xi\neq 1$ через його дію на нульовий добуток в унітальній алгебрі над $\mathbb{F}.$