Елементи аналізу Леві на просторах нерегулярних основних та узагальнених функцій

Микола Качановський

doi:10.3842/umzh.v76i12.8488

Микола Качановський Інститут математики НАН України, Київ

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i12.8488

Ключові слова: процес Леві, властивість хаотичного розкладу, стохастичний інтеграл, стохастична похідна, віківське числення

Анотація

УДК 517.98

Наведено огляд низки результатів автора, пов'язаних з розбудовою аналізу Леві на просторах нерегулярних основних та узагальнених функцій. Згадані простори будуються за допомогою узагальнення властивості хаотичного розкладу, запропонованого Є. В. Литвиновим, яке є прямим аналогом розкладу квадратично інтегровних випадкових величин за ортогональними поліномами Ерміта у гауссівському аналізі. Саме при такому підході значна частина означень та тверджень цілком аналогічні своїм прототипам із гауссівського аналізу, що є дуже зручним для застосувань. Огляд охоплює доволі широке коло питань: розширений стохастичний інтеграл, стохастичну похідну Хіди та їхні узагальнення, оператори стохастичного диференціювання та їхні аналоги (узагальнення), елементи віківського числення, зв'язок між віківським численням та інтегруванням тощо.

Посилання

F. E. Benth, The Gross derivative of generalized random variables, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. and Relat. Top., 2, № 3, 381–396 (1999).

F. E. Benth, G. Di Nunno, A. Lokka, B. Oksendal, F. Proske, Explicit representation of the minimal variance portfolio in markets driven by Lévy processes, Math. Finance, 13, № 1, 55–72 (2003).

Yu. M. Berezansky, Yu. S. Samoilenko, Nuclear spaces of functions of infinitely many variables, Ukr. Math. J., 25, № 6, 599–609 (1973).

J. Bertoin, Lévy processes, Cambridge Univ. Press, Melbourne, New York (1996).

M. Bożejko, E. W. Lytvynov, I. V. Rodionova, An extended anyon Fock space and noncommutative Meixner-type orthogonal polynomials in infinite dimensions, Russian Math. Surveys, 70, № 5, 857–899 (2015).

A. Dermoune, Distributions sur l'espace de P. Lévy et calcul stochastic, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Stat., 26, 101–119 (1990).

G. Di Nunno, B. Oksendal, F. Proske, White noise analysis for Lévy processes, J. Funct. Anal., 206, № 1, 109–148 (2004).

G. Di Nunno, B. Oksendal, F. Proske, Malliavin calculus for Lévy processes with applications to finance, Universitext, Springer-Verlag, Berlin (2009).

T. Hida, Analysis of Brownian functionals, in: Carleton Mathematical Lecture Notes, vol. 13. Carleton University (1975).

H. Holden, B. Oksendal, J. Uboe, T.-S. Zhang, Stochastic partial differential equations – a modeling, white noise functional approach, Birkhäuser, Boston (1996).

K. Itô, Spectral type of the shift transformation of differential processes with stationary increments, Trans. Amer. Math. Soc., 81, 253–263 (1956).

T. O. Kachanovska, N. A. Kachanovsky, Interconnection between Wick multiplication and integration on spaces of nonregular generalized functions in the Lévy white noise analysis, Carpathian Math. Publ., 11, № 1, 70–88 (2019).

N. A. Kachanovsky, On an extended stochastic integral and the Wick calculus on the connected with the generalized Meixner measure Kondratiev-type spaces, Meth. Funct. Anal. and Top., 13, № 4, 338–379 (2007).

N. A. Kachanovsky, An extended stochastic integral and a Wick calculus on parametrized Kondratiev-type spaces of Meixner white noise, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. and Relat. Top., 11, № 4, 541–564 (2008).

N. A. Kachanovsky, Notes on Wick calculus on parametrized spaces of test functions of Meixner white noise, Meth. Funct. Anal. and Top., 17, № 2, 150–167 (2011).

N. A. Kachanovsky, Extended stochastic integrals with respect to a Lévy process on spaces of generalized functions, Math. Bull. Taras Shevchenko Sci. Soc., 10, 169–188 (2013).

N. A. Kachanovsky, On extended stochastic integrals with respect to Lévy processes, Carpathian Math. Publ., 5, № 2, 56–278 (2013).

N. A. Kachanovsky, Operators of stochastic differentiation on spaces of nonregular test functions of Lévy white noise analysis, Meth. Funct. Anal. and Top., 21, № 4, 336–360 (2015).

N. A. Kachanovsky, Operators of stochastic differentiation on spaces of nonregular generalized functions of Lévy white noise analysis, Carpathian Math. Publ., 8, № 1, 83–106 (2016).

N. A. Kachanovsky, On Wick calculus on spaces of nonregular generalized functions of Lévy white noise analysis, Carpathian Math. Publ., 10, № 1, 114–132 (2018).

N. A. Kachanovsky, On Wick calculus and its relationship with stochastic integration on spaces of regular test functions in the Lévy white noise analysis, Carpathian Math. Publ., 14, № 1, 194–212 (2022).

N. A. Kachanovsky, Wick multiplication and its relationship with integration and stochastic differentiation on spaces of nonregular test functions in the Lévy white noise analysis, Carpathian Math. Publ., 16, № 1, 61–83 (2024).

N. A. Kachanovsky, V. A. Tesko, Stochastic integral of Hitsuda–Skorokhod type on the extended Fock space, Ukr. Math. J., 61, № 6, 873–907 (2009).

Yu. G. Kondratiev, Yu. S. Samoilenko, The spaces of trial and generalized functions of infinitely many variables, Rep. Math. Phys., 14, № 3, 323–348 (1978).

V. D. Koshmanenko, Yu. S. Samoilenko, Isomorphism of Fock space with a space of functions of infinitely many variables, Ukr. Math. J., 27, № 5, 552–555 (1975).

E. W. Lytvynov, Orthogonal decompositions for Lévy processes with an application to the gamma, Pascal, and Meixner processes, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. and Relat. Top., 6, № 1, 73–102 (2003).

P. A. Meyer, Quantum probability for probabilists, Lect. Notes in Math., 1538, Springer-Verlag, Berlin (1993).

D. Nualart, W. Schoutens, Chaotic and predictable representations for Lévy processes, Stochastic Process. and Appl., 90, № 1, 109–122 (2000).

I. V. Rodionova, Analysis connected with generating functions of exponential type in one and infinite dimensions, Meth. Funct. Anal. and Top., 11, № 3, 275–297 (2005).

W. Schoutens, Stochastic processes and orthogonal polynomials, Lect. Notes in Stat., 146, Springer-Verlag, New York (2000).

J. L. Solé, F. Utzet, J. Vives, Chaos expansions and Malliavin calculus for Lévy processes, in: Stoch. Anal. and Appl., Abel Symposium 2, Springer, Berlin (2007), p. 595–612.

D. Surgailis, On $L^2$ and non-$L^2$ multiple stochastic integration, in: Lect. Notes in Control and Information Sciences, 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1981), p. 212–226.

A. S. Ustunel, An introduction to analysis on Wiener space, Lect. Notes in Math., 1610, Springer-Verlag, Berlin (1995).

A. M. Vershik, N. V. Tsilevich, Fock factorizations and decompositions of the $L^2$ spaces over general Lévy processes, Russian Math. Surveys, 58, № 3, 427–472 (2003).

Ю. М. Березанский, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель, Функциональный анализ, Курс лекций, Вища школа, Киев (1990).

И. М. Гельфанд, Н. Я. Виленкин, Обобщенные функции, т. 4, Физматгиз, Москва (1961).

И. И. Гихман, А. В. Скороход, Теория случайных процессов, т. 2, Наука, Москва (1973).

М. О. Качановський, Про стохастичне інтегрування, диференціювання та віківське числення в аналізі білого шуму Леві, Зб. праць Інституту математики НАН України, 18, № 1, 456–507 (2021).

Ю. Г. Кондратьев, Обобщенные функции в задачах бесконечномерного анализа, Дис. ... канд. физ.-мат. наук, Киев (1978).

А. В. Скороход, Интегрирование в гильбертовом пространстве, Наука, Москва (1975).