Про аналог класу Салагеана для рядів Діріхле і розв'язки одного лінійного диференціального рівняння з екпоненціальними коефіцієнтами

Анотація

УДК 517.537

Вивчаючи геометричні властивості функцій, аналітичних у крузі ${\mathbb D} = \{z\colon |z|<1\},$ Г. С. Салагеан увів клас $S_j(\alpha)$ функцій $f(z) = z + \sum _{k = 2}^{\infty}f_kz^k,$ для яких $\operatorname{Re} \frac{D^{j + 1}f(z)}{D^{j}f(z)} > \alpha\in [0, 1)$ для кожного $z\in{\mathbb D},$ де $D^jf$ – похідна Салагеана. Для абсолютно збіжних у півплощині $\Pi_0 = \{s\colon \operatorname{Re} s<0\}$ рядів Діріхле $F(s) = e^{s}-\sum _{k = 1}^{\infty}f_k\exp\{s\lambda_k\}$ з $f_k\ge0$ аналогом класу Салагеaна є клас $D_{j}(\alpha),$ означений умовою $\operatorname{Re} \frac{F^{(j + 1)}(s)}{F^{(j)}(s)} > \alpha$ для кожного $s\in \Pi_0.$  Подібно до означеного А. В. Гудманом околу аналітичної в ${\mathbb D}$ функції для $F\in D_{j}(\alpha)$ введено поняття околу $O_{j,\delta}(F)$ і знайдено умови, за яких усі функції з $O_{j,\delta}(F)$ належать до $D_{j}(\alpha_1),$ $0\le \alpha_1<\alpha<1,$ і навпаки. Досліджено належність розв'язків диференціального рівняння $\frac{d^2w}{ds^2} + (\gamma_0e^{2s} + \gamma_1 e^s + \gamma_2)w = 0$ з дійсними параметрами до класу $D_{j}(\alpha).$