Еліптичні оператори і крайові задачі у просторах узагальненої гладкості

Володимир Михайлець; Олександр Мурач; Ірина Чепурухіна

doi:10.3842/umzh.v76i9.8595

Володимир Михайлець Інститут математики НАН України, Київ
Олександр Мурач Інститут математики НАН України, Київ
Ірина Чепурухіна Інститут математики НАН України, Київ

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i9.8595

Ключові слова: простір узагальненої гладкості, прострір Хермандера, еліптичний оператор, еліптична крайова задача

Анотація

УДК 517.518.2+517.956.22

Наведено огляд результатів, отриманих протягом останніх десяти років у розробленій авторами теорії еліптичних крайових задач у функціональних просторах Хермандера, та пов'язані з ними інші результати сучасного аналізу. Основи цієї теорії та деякі її застосування систематично викладено у монографії „Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems'' (De Gruyter, Berlin/Boston, 2014) перших двох авторів огляду.

Посилання

S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg, Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundaryconditions. I, Comm. Pure and Appl. Math., 12, № 4, 623–727 (1959).

S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg, Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II, Comm. Pure and Appl. Math., 17, № 1, 35–92 (1964).

M. S. Agranovich, Elliptic operators on closed manifolds, in: Partial Differential Equations, VI, Encyclopaedia Math. Sci., vol. 63, Springer, Berlin (1994), p. 1–130.

M. S. Agranovich, Elliptic boundary problems, in: Partial Differential Equations, IX, Encyclopaedia Math. Sci., vol. 79, Springer, Berlin (1997), p. 1–144.

M. S. Agranovich, M. I. Vishik, Elliptic problems with parameter and parabolic problems of general form, Russian Math. Surveys, 19, № 3, 53–157 (1964).

Y. Ameur, A new proof of Donoghue’s interpolation theorem, J. Funct. Spaces and Appl., 2, 253–265 (2004).

Y. Ameur, Interpolation between Hilbert spaces, in: A. Aleman etc. (eds.) Analysis of Operators on Function Spaces, The Serguei Shimorin Memorial Volume, Trends Math., Birkhäuser/Springer, Cham (2019), p. 63–115.

A. Anop, I. Chepurukhina, A. Murach, Elliptic problems with additional unknowns in boundary conditions and generalized Sobolev spaces, Axioms, 10, Article 292 (2021).

A. Anop, R. Denk, A. Murach, Elliptic problems with rough boundary data in generalized Sobolev spaces, Comm. Pure and Appl. Anal., 20, № 2, 697–735 (2021).

A. V. Anop, T. M. Kasirenko, Elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces, Methods Funct. Anal. and Topology, 22, № 4, 295–310 (2016).

A. V. Anop, T. M. Kasirenko, A. A. Murach, Irregular elliptic boundary-value problems and Hörmander spaces, Ukr. Math. J., 70, № 3, 341–361 (2018).

A. V. Anop, A. A. Murach, Regular elliptic boundary-value problems in the extended Sobolev scale, Ukr. Math. J., 66, № 7, 969–985 (2014).

A. V. Anop, A. A. Murach, Parameter-elliptic problems and interpolation with a function parameter, Methods Funct. Anal. and Topology, 20, № 2, 103–116 (2014).

V. G. Avakumović, O jednom O-inverznom stavu, Rad Jugoslovenske Akad. Znatn. Umjetn., 254, 167 –186 (1936).

J. Behrndt, S. Hassi, H. de Snoo, Boundary value problems, Weyl functions, and differential operators, Springer, Cham (2020).

Yu. M. Berezansky, Expansions in eigenfunctions of selfadjoint operators, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1968).

J. Bergh, J. Löfström, Interpolation spaces, Springer, Berlin (1976).

B. F. Besoy, F. Cobos, Duality for logarithmic interpolation spaces when $0, J. Math. Anal. and Appl., 466, № 1, 373–399 (2018).

N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation, Cambridge, Cambridge Univ. Press (1989).

F. E. Browder, On the regularity properties of solutions of elliptic differential equations, Comm. Pure and Appl. Math., 9, № 3, 351–361 (1956).

F. E. Browder, Estimates and existence theorems for elliptic boundary-value problems, Proc. Nat. Acad. Sci., 45, № 3, 365–372 (1959).

V. V. Buldygin, K. -H. Indlekofer, O. I. Klesov, J. G. Steinebach, Pseudo-regularly varying functions and generalized renewal processes, Springer, Cham (2018).

I. S. Chepurukhina, A. A. Murach, Elliptic problems in the sense of B. Lawruk on two-sided refined scales of spaces, Methods Funct. Anal. and Topology, 21, № 1, 6–21 (2015).

I. Chepurukhina, A. Murach, Elliptic problems with unknowns on the boundary and irregular boundary data, Methods Funct. Anal. and Topology, 26, № 2, 91–102 (2020).

R. Denk, D. Ploβ, S. Rau, J. Seiler, Boundary value problems with rough boundary data, J. Different. Equat., 366, № 2, 85–131 (2023).

Ó. Domínguez, S. Tikhonov, Function spaces of logarithmic smoothness: embeddings and characterizations, Mem. Amer. Math. Soc., 282, № 1393 (2023).

W. F. Donoghue, The interpolation of quadratic norms, Acta Math., 118, № 3–4, 251–270 (1967).

A. Douglis, L. Nirenberg, Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations, Comm. Pure and Appl. Math., 8, № 4, 503–538 (1955).

O. Dyachenko, V. Los, Some problems for Petrovskii parabolic systems in generalized Sobolev spaces, J. Elliptic and Parabol. Equat., 8, № 1, 313–329 (2022).

O. V. Dyachenko, V. M. Los, Regular conditions for the solutions to some parabolic systems, Ukr. Math. J., 74, № 8, 1263–1274 (2023).

J. Fageot, A. Fallah, M. Unser, Multidimensional Lévy white noise in weighted Besov spaces, Stochastic Process. and Appl., 127, 1599–1621 (2017).

M. Faierman, Fredholm theory for an elliptic differential operator defined on $mathbb{R}^{n}$ and acting on generalized Sobolev spaces, Comm. Pure and Appl. Anal., 19, № 3, 1463–1483 (2020).

M. Fan, Qudratic interpolation and some operator inequalities, J. Math. Inequal., 5, № 3, 413–427 (2011).

W. Farkas, H.-G. Leopold, Characterisations of function spaces of generalized smoothness, Ann. Mat. Pura Appl., 185, № 1, 1–62 (2006).

C. Foiaş, J.-L. Lions, Sur certains théorèmes d'interpolation, Acta Sci. Math. (Szeged), 22, № 3–4, 269–282 (1961).

J. Franke, T. Runst, Regular elliptic boundary value problems in Besov–Triebel–Lizorkin spaces, Math. Nachr., 174, 113–149 (1995).

G. Geymonat, Sui problemi ai limiti per i sistemi lineari ellittici, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 69, 207–284 (1965).

D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order} (revised 3rd edn.), Springer, Berlin (1998).

D. D. Haroske, Envelops and sharp embeddings of function spaces, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, FL (2007).

D. D. Haroske, S. D. Moura, Continuity envelopes and sharp embeddings in spaces of generalized smoothness, J. Funct. Anal., 254, № 6, 1487–1521 (2008).

D. D. Haroske, H.-G. Leopold, S. D. Moura, L. Skrzypczak, Nuclear and compact embeddings in function spaces of generalised smoothness, Anal. Math., 49, № 4, 1007–1039 (2023).

M. Hegland, Error bounds for spectral enhancement which are based on variable Hilbert scale inequalities, J. Integral Equat. and Appl., 22, № 2, 285–312 (2010).

L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer, Berlin (1963).

L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators. Vol. II, Differential operators with constant coefficients, Springer-Verlag, Berlin (2005).

L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators. Vol. III. Pseudo-differential operators, Springer, Berlin (2007).

F. Hummel, Boundary value problems of elliptic and parabolic type with boundary data of negative regularity, J. Evol. Equat., 21, 1945–2007 (2021).

F. Hummel, Sample paths of white noise in spaces with dominating mixed smoothness, Banach J. Math. Anal., 15, Article 54 (2021).

V. S. Il'kiv, N. I. Strap, Solvability of the nonlocal boundary-value problem for a system of differential-operator equations in the Sobolev scale of spaces and in a refined scale, Ukr. Math. J., 67, № 5, 690–710 (2015).

V. S. Il'kiv, N. I. Strap, I. I. Volyanska, Solvability conditions for the nonlocal boundary-value problem for a differential-operator equation with weak nonlinearity in the refined Sobolev scale of spaces of functions of many real variables, Ukr. Math. J., 72, № 4, 515–535 (2020).

N. Jacob, Pseudodifferential operators and Markov processes}: in 3 vol., Imperial College Press, London (2001, 2002, 2005).

J. Johnsen, Elliptic boundary problems and the Boutet de Monvel calculus in Besov and Triebel–Lizorkin spaces, Math. Scand., 79, № 1, 25–85 (1996).

G. A. Kalyabin, P. I. Lizorkin, Spaces of functions of generalized smoothness, Math. Nachr., 133, 7–32 (1987).

J. Karamata, Sur certains ``Tauberian theorems'' de M. M. Hardy et Littlewood, Mathematica (Cluj), 3, 33–48 (1930).

T. Kasirenko, A. Murach, Elliptic problems with boundary operators of higher orders in Hörmander–Roitberg spaces, Methods Funct. Anal. and Topology, 24, № 2, 120–142 (2018).

T. M. Kasirenko, O. O. (A. A.) Murach, Elliptic problems with boundary conditions of higher orders in Hörmander spaces, Ukr. Math. J., 69, № 11, 1727–1748 (2018).

T. Kasirenko, V. Mikhailets, A. Murach, Sobolev-like Hilbert spaces induced by elliptic operators, Complex Anal. and Oper. Theory, 13, № 3, 1431–1440 (2019).

V. A. Kozlov, V. G. Maz'ya, J. Rossmann, Elliptic boundary value problems in domains with point singularities, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1997).

S. G. Krein, Yu. I. Petunin, Scales of Banach spaces, Russian Math. Surveys, 21, № 2, 85–159 (1966).

O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Ural'tseva, Linear and quasilinear elliptic equations, Academic Press, New York (1968).

J.-L. Lions, Espaces intermédiaires entre espaces hilbertiens et applications, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys. Roumanie, 50, № 4, 419–432 (1958).

J.-L. Lions, E. Magenes, Problémes aux limites non homogénes, V, Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, 16, 1–44 (1962).

J.-L. Lions, E. Magenes, Problémes aux limites non homogénes, VI, J. Anal. Math., 11, 165–188 (1963).

J.-L. Lions, E. Magenes, Non-homogeneous boundary-value problems and applications, vol. I, Springer-Verlag, New York/Heidelberg (1972).

L. Loosveldt, S. Nicolay, Some equivalent definitions of Besov spaces of generalized smoothness, Math. Nachr., 292, № 10, 2262–2282 (2019).

V. M. Los, Petrovskii-parabolic systems in Hörmander spaces, Ukr. Math. J., 69, № 3, 426–443 (2017).

V. Los, V. A. Mikhailets, A. A. Murach, An isomorphism theorem for parabolic problems in Hörmander spaces and its applications, Comm. Pure and Appl. Anal., 16, № 1, 69–97 (2017).

V. Los, V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Parabolic problems in generalized Sobolev spaces, Comm. Pure and Appl. Anal., 20, № 10, 3605–3636 (2021).

V. Los, A. Murach, Isomorphism theorems for some parabolic initial-boundary value problems in Hörmander spaces, Open Math., 15, 57–76 (2017).

P. Mathé, U. Tautenhahn, Interpolation in variable Hilbert scales with application to innverse problems, Inverse Problems, 22, № 6, 2271–2297 (2006).

W. Matuszewska, On a generalization of regularly increasing functions, Studia Math., 24, 271–279 (1964).

V. Mikhailets, V. Molyboga, Spectral gaps of the one-dimensional Schrödinger operators with singular periodic potentials, Methods Funct. Anal. and Topology, 15, № 1, 31–40 (2009).

V. Mikhailets, V. Molyboga, Hill's potentials in Hörmander spaces and their spectral gaps, Methods Funct. Anal. and Topology, 17, № 3, 235–243 (2011).

V. Mikhailets, V. Molyboga, Smoothness of Hill's potential and lengths of spectral gaps, Spectral Theory, Mathematical System Theory, Evolution Equations, Differential and Difference Equations (IWOTA 2010 Conference, Berlin), Oper. Theory. Adv. and Appl., 221, Birkhäser, Basel (2012), p. 467–478.

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Elliptic operators in a refined scale of function spaces, Ukr. Math. J., 57, № 5, 817–825 (2005).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I, Ukr. Math. J., 58, № 2, 244–262 (2006).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Refined scales of spaces, and elliptic boundary value problems. II, Ukr. Math. J., 58, № 3, 398–417 (2006).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Elliptic operator with homogeneous regular boundary conditions in two-sided refined scale of spaces, Ukr. Math. Bull., 3, № 4, 529–560 (2006).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, A regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided refined scale of spaces, Ukr. Math. J., 58, № 11, 1748–1767 (2006).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Refined scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III, Ukr. Math. J., 59, № 5, 744–765 (2007).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces, Methods Funct. Anal. and Topology, 14, № 1, 81–100 (2008).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces, Ukr. Math. J., 60, № 4, 574–597 (2008).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Elliptic systems of pseudodifferential equations in a refined scale on a closed manifold, Bull. Pol. Acad. Sci. Math., 56, № 3–4, 213–224 (2008).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Elliptic problems and Hörmander spaces, Modern Analysis and Applications. The Mark Krein Centenary Conference, vol. 2, Oper. Theory. Adv. and Appl., 191, Birkhäser, Basel (2009), p. 447–470.

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems, Banach J. Math. Anal., 6, № 2, 211–281 (2012).

V. A. Mikhailets, A. A Murach, Extended Sobolev scale and elliptic operators, Ukr. Math. J., 65, № 3, 435–447 (2013).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems, De Gruyter, Berlin/Boston (2014).

V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces, Results Math., 67, № 1, 135–152 (2015).

V. Mikhailets, A. Murach, Unconditional convergence of eigenfunction expansions for abstract and elliptic operators, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 1–19 (2024); https://doi. org/10. 1017/prm. 2024. 40.

R. Mikulevičius, C. Phonsom, On the Cauchy problem for integro-differential equations in the scale of spaces of generalized smoothness, Potential Anal., 50, № 3, 467–519 (2019).

R. Mikulevičius, C. Phonsom, On the Cauchy problem for stochastic integro-differential equations with radially O-regularly varying Lévy measure, Stoch. Partial Different. Equat. Anal. and Comput., 9, № 2, 380–436 (2021).

O. Milatovic, Extended Sobolev scale on $mathbb{Z}^{n}$, J. Pseudo-Different. Oper. and Appl, 15, Article 25 (2024).

S. D. Moura, J. S. Neves, C. Schneider, Spaces of generalized smoothness in the critical case: optimal embeddings, continuity envelopes and approximation numbers, J. Approx. Theory, 187, 82–117 (2014).

А. А. Murach, Elliptic boundary value problems in complete scales of Nikol'skii-type spaces, Ukr. Math. J., 46, № 12, 1827–1835 (1994).

A. A. Murach, Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale of spaces on a closed manifold, Ukr. Math. J., 59, № 6, 874–893 (2007).

A. A. Murach, Douglis–Nirenberg elliptic systems in the refined scale of spaces on a closed manifold, Methods Funct. Anal. and Topology, 14, № 2, 142–158 (2008).

A. A. Murach, Douglis–Nirenberg elliptic systems in the spaces of generalized smoothness, Ukr. Math. Bull., 5, № 3, 345–359 (2008).

A. A. Murach, Extension of some Lions–Magenes theorems, Methods Funct. Anal. and Topology, 15, № 2, 152–167 (2009).

A. A. Murach, On elliptic systems in Hörmander spaces, Ukr. Math. J., 61, № 3, 467–477 (2009).

A. A. Murach, I. S. Chepurukhina, Elliptic boundary-value problems in the sense of Lawruk on Sobolev and Hörmander spaces, Ukr. Math. J., 67, № 5, 764–784 (2015).

A. A. Murach, T. Zinchenko, Parameter-elliptic operators on the extended Sobolev scale, Methods Funct. Anal. and Topology, 19, № 1, 29–39 (2013).

J. S. Neves, B. Opic, Optimal local embeddings of Besov spaces involving only slowly varying smoothness, J. Approx. Theory, 254, Article 105393 (2020).

F. Nicola, L. Rodino, Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces, Birkhäuser, Basel (2010).

V. I. Ovchinnikov, The methods of orbits in interpolation theory, Math. Rep., 1, № 2, 349–515 (1984).

B. Paneah, The oblique derivative problem. The Poincaré problem, Wiley–VCH, Berlin (2000).

J. Peetre, On interpolation functions, Acta Sci. Math. (Szeged), 27, 167–171 (1966).

J. Peetre, On interpolation functions. II, Acta Sci. Math., 29, № 1, 91–92 (1968).

E. I. Pustyl`nik, On permutation-interpolation Hilbert spaces, Russian Math. (Iz. VUZ), 26, № 5, 52–57 (1982).

P. J. Rabier, Fredholm and regularity theory of Douglis–Nirenberg elliptic systems on $mathbf{R}^{n}$, Math. Z., 270, № 1–2, 369–393 (2012).

Ya. A. Roitberg, Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1996).

Ya. Roitberg, Boundary value problems in the spaces of distributions, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1999).

T. Runst, W. Sickel, Sobolev spaces of fractional order, Nemytskij operators, and nonlinear partial differential equations, Walter de Gruyter & Co., Berlin (1996).

M. Schechter, Mixed boundary value problems for general elliptic equations, Comm. Pure and Appl. Math., 13, № 2, 183–201 (1960).

M. Schechter, On $L_{p}$ estimates and regularity, I, Amer. J. Math., 85, № 1, 1–13 (1963).

E. Seneta, Regularly varying functions, Springer, Berlin (1976).

B. Simon, Loewner's theorem on monotone matrix functions, Springer, Cham (2019).

I. V. Skrypnik, Methods for analysis of nonlinear elliptic boundary value problems, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1994).

G. Slenzak, Ellptic problems in a refined scale of spaces, Moscow Univ. Math. Bull., 29, № 3–4, 80–88 (1974).

A. I. Stepanets, Methods of approximation theory, VSP, Utrecht (2005).

H. Triebel, Theory of function spaces, Birkhäuser, Basel (1983).

H. Triebel, Interpolation theory, function spaces, differential operators} (2nd edn.), Johann Ambrosius Barth, Heidelberg (1995).

H. Triebel, The structure of functions, Birkhäuser, Basel (2001).

H. Triebel, Bases in function spaces, sampling, discrepancy, numerical integration, European Math. Soc., Zürich (2010).

M. Veraar, Regularity of Gaussian white noise on the $d$-dimensional torus, Banach Center Publ., 95, 385–398 (2011).

L. R. Volevich, B. P. Paneah, Certain spaces of generalized functions and embedding theorems, Russian Math. Surveys, 20, № 1, 1–73 (1965).

T. Zinchenko, Elliptic operators on refined Sobolev scales on vector bundles, Open Math., 15, 907–925 (2017).

T. N. Zinchenko, A. A. Murach, Douglis–Nirenberg elliptic systems in Hormander spaces, Ukr. Math. J., 64, № 11, 1672–1687 (2013).

T. N. Zinchenko, A. A. Murach, Petrovskii elliptic systems in the extended Sobolev scale, J. Math. Sci., 196, № 5, 721–732 (2014).

А. В. Аноп, Еліптичні крайові задачі в многозв'язній області в розширеній соболєвській шкалі, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 10, № 2, 37–59 (2013).

А. В. Аноп, Загальна еліптична крайова задача в розширеній соболєвській шкалі, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 4, 7–14 (2014).

А. В. Аноп, Еліптичні крайові задачі для систем диференціальних рівнянь у просторах узагальненої гладкості, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 11, № 2, 7–34 (2014).

А. В. Аноп, Еліптичні за Лавруком крайові задачі для однорідних диференціаьних рівнянь, Доп. НАН України, № 2, 3–11 (2019).

А. В. Аноп, О. О. Мурач, До теорії еліптичних крайових задач у просторах Хермандера, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 12, № 2, 39–64 (2015).

Деякі напіводнорідні еліптичні крайові задачі у повній розширеній соболєвській шкалі, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 13, № 2, 27–54 (2016).

А. В. Аноп, О. О. Мурач, Однорідні еліптичні рівняння в розширеній соболєвській шкалі, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 3, 3–11 (2018).

Л. Р. Волевич, Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем, Мат. сб., 68, № 3, 373–416 (1965).

Т. Зінченко, Розширена соболєвська шкала над векторними розшаруваннями, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 14, № 3, 114–127 (2017).

Т. Н. Зинченко, Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 3, 14–20 (2013).

Т. Н. Зинченко, Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале на замкнутом многообразии, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 11, № 2, 100–125 (2014).

Т. Н. Зинченко, А. А. Мурач, Эллиптические системы с параметром в расширенной соболевской шкале, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 9, № 2, 180–202 (2012).

С. Г. Крейн, Об одной интерполяционной теореме в теории операторов, Докл. АН СССР, 130, № 3, 491–494 (1960).

Т. М. Касіренко, Загальні еліптичні крайові задачі у просторах Хермандера–Ройтберга, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 2, 3–12 (2018).

Т. М. Касіренко, О. О. Мурач, І. С. Чепурухіна, Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 3, 9–16 (2019).

Т. М. Касіренко, І. С. Чепурухіна, Еліптичні за Лавруком задачі з крайовими операторами вищих порядків в уточненій соболєвській шкалі, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 14, № 3, 161–203 (2017).

Б. Лаврук, Параметрические краевые задачи для эллиптических систем линейных дифференциальных уравнений. І. Построение сопряженных задач, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., 11, № 5, 257–267 (1963).

В. М. Лось, В. А. Михайлець, О. О. Мурач, Параболічні граничні задачі та узагальнені простори Соболєва, Наук. думка, Київ (2021).

В. А. Михайлец, А. А. Мурач, Интерполяция пространств с функциональным параметром и пространства дифференцируемых функций, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 6, 13–18 (2006).

В. А. Михайлец, А. А. Мурач, Эллиптический оператор в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 10, 27–33 (2006).

В. А. Михайлец, А. А. Мурач, Интерполяционные пространства Хермандера и эллиптические операторы, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 5, № 1, 205–226 (2008).

В. А. Михайлец, А. А. Мурач, Об эллиптических операторах на замкнутом многообразии, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 3, 13–19 (2009).

В. А. Михайлець, О. О. Мурач, Простори Хермандера та еліптичні задачі, Наук. вісн. Чернів. нац. ун-ту. Математика, 1, № 1–2, 129–144 (2011).

В. А. Михайлец, А. А. Мурач, Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 4, 30–36 (2011).

А. А. Мурач, Эллиптические краевые задачи в полных шкалах пространств типа Лизоркина–Трибеля, Докл. НАН Украины, № 12, 36–39 (1994).

А. А. Мурач, Эллиптические краевые задачи в многосвязных областях в уточненной шкале пространств, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 4, 29–35 (2007).

А. А. Мурач, Эллиптические по Петровскому системы дифференциальных уравнений в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 5, 29–35 (2007).

О. О. Мурач, Крайова задача для еліптичної за Петровським системи диференціальних рівнянь в уточненій шкалі просторів, Доп. НАН України. Математика. Природознавство.Технічні науки, № 6, 24–31 (2007).

О. О. Мурач, І. С. Чепурухіна, Еліптичні задачі з некласичними крайовими умовами у розширеній соболєвській шкалі, Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки, № 8, 3–10 (2020).

Я. А. Ройтберг, Теорема о гомеоморфизмах, осуществляемых в $L_{p}$ эллиптическими операторами, и локальное повышение гладкости обобщенных решений, Укр. мат. журн., 17, № 5, 122–129 (1965).

В. А. Солонников, Об общих краевых задачах, эллиптических в смысле А. Дуглиса–Л. Ниренберга. I, Известия АН СССР, сер. мат., 28, № 3, 665–706 (1964).

В. А. Солонников, Об общих краевых задачах, эллиптических в смысле А. Дуглиса–Л. Ниренберга. II, Труды Мат. ин-та АН СССР, 92, 233–297 (1966).

І. С. Чепурухіна, Про деякі класи еліптичних крайових задач у просторах узагальненої гладкості, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 11, № 2, 284–304 (2014).

І. С. Чепурухіна, Еліптичні за Б. Лавруком крайові задачі в розширеній соболєвській шкалі, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 12, № 2, 338–374 (2015).

І. С. Чепурухіна, Однорідна еліптична крайова задача з додатковими невідомимим функціями в крайових умовах, Доп. НАН України, № 7, 20–28 (2015).

І. С. Чепурухіна, Теореми типу Ліонса–Мадженеса для еліптичних за Лавруком крайових задач, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 13, № 2, 281–300 (2016).