О некоторых свойствах отображений единичного круга $С$-функциями Каратеодора

Анотація

В работе показано, что класс $Р$ регулярных в круге $| z | < 1$ функций $p(z)$ с $Re \{p (z)\}>1$ в этом круге и нормированных условием $p (0) = 1$, который содержит неоднолистные функции, не имеет положительного радиуса выпуклости, звездообразности или $\theta$-спиральности. Исследуется деформация образов окружности $|z|= r$, $0<r<1$, при отображении круга $| z | < 1$ функциями $p (z) \in P$, имеющими вид

$p(z) =\frac{1+ze^{-i\varphi}}{1-ze^{-i\varphi}}\lambda+\frac{1-ze^{-i\varphi}}{1+ze^{-i\varphi}}(1-\lambda)\,$

где $0\leq \lambda \leq 1$, $0\leq \varphi <2\pi$ , в связи с изменением расстояния нуля производной $p' (z)$ от окружности $|z|=r$.