A proof of a conjecture on convolution of harmonic mappings and some related problems

S. Yalçın; A. Ebadian; S.  Azizi

doi:10.37863/umzh.v73i2.94

S. Yalçın Bursa Uludag Univ., Turkey
A. Ebadian Urmia Univ., Iran
S. Azizi Payame Noor Univ., Tehran, Iran

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i2.94

Ключові слова: Harmonic convolutions, harmonic vertical strip mappings, harmonic half-plane mappings

Анотація

УДК 517.5

Доведення гіпотези про згортку гармонічних відображень та деякі пов'язані задачі

Нещодавно Kumar та ін. запропонували гіпотезу щодо згортки узагальнених відображень правої півплощини з відображеннями вертикальної смуги.
Вони перевірили цю гіпотезу для $n=1,2,3$ та $4$.
Крім цього, гіпотезу було доведено тільки для $\beta=\pi/2$.
Використовуючи новий метод, ми доводимо цю гіпотезу для всіх $n\in\mathbb{N}$ та $\beta\in(0,\pi)$.
Більш того, за допомогою цього методу ми отримали деякі результати щодо згортки гармонічних відображень.
Новий метод спрощує обчислення та значно скорочує доведення результатів.

Посилання

A. Cauchy, Exercises de mathematique, Oeuvres (2), 9 (1829).

J. Conway, Functions of one complex variable, Second Ed., Vol. I, Springer-Verlag (1978). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-6313-5

M. Dorff, Anamorphosis, mapping problems, and harmonic univalent functions, Explorat. Complex Anal., 197 – 269 (2012). DOI: https://doi.org/10.1090/clrm/040/04

M. Dorff, Harmonic univalent mappings onto asymmetric vertical strips, Comput. Methods and Funct. Theory, 171 – 175 (1997).

M. Dorff, Convolution of planar harmonic convex mappings, Complex Var. Theory and Appl., 45, № 3, 263 – 271 (2001), https://doi.org/10.1080/17476930108815381 DOI: https://doi.org/10.1080/17476930108815381

M. Dorff, M. Nowak, M. Wołoszkiewicz, Convolution of harmonic convex mappings, Complex Var. Elliptic Equat., 57, № 5, 489 – 503 (2012), https://doi.org/10.1080/17476933.2010.487211 DOI: https://doi.org/10.1080/17476933.2010.487211

P. Duren, Harmonic mappings in the plane, Cambridge Tracts Math., 156, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2004), https://doi.org/10.1017/CBO9780511546600 DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511546600

R. B. Gardner, N. K. Govil, Enestrom – Kakeya theorem and some of its generalizations, Current Topics in Pure and Comput. Complex Anal., 171 – 199 (2014). DOI: https://doi.org/10.1007/978-81-322-2113-5_8

R. Kumar, M. Dorff, S. Gupta, S. Singh, Convolution properties of some harmonic mappings in the right half-plane, Bull. Malays. Math. Sci. Soc., 39, № 1, 439 – 455 (2016), https://doi.org/10.1007/s40840-015-0184-3 DOI: https://doi.org/10.1007/s40840-015-0184-3

R. Kumar, S. Gupta, S. Singh, M. Dorff, An application of Cohn’s rule to convolutions of univalent harmonic mappings, Rocky Mountain J. Math., 46, № 2, 559 – 570 (2016), https://doi.org/10.1216/RMJ-2016-46-2-559 DOI: https://doi.org/10.1216/RMJ-2016-46-2-559

R. Kumar, S. Gupta, S. Singh, M. Dorff, On harmonic convolutions involving a vertical strip mapping, Bull. Korean Math. Soc., 52, № 1, 105 – 123 (2015), https://doi.org/10.4134/BKMS.2015.52.1.105 DOI: https://doi.org/10.4134/BKMS.2015.52.1.105

H. Lewy, On the nonvanishing of the Jacobian in certain one-to-one mappings, Bull. Amer. Math. Soc., 42, 689 – 692 (1936), https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1936-06397-4 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1936-06397-4

L. Li, S. Ponnusamy, Convolutions of slanted half-plane harmonic mappings, Analysis (Munich), 33, № 2, 159 – 176 (2013), https://doi.org/10.1524/anly.2013.1170 DOI: https://doi.org/10.1524/anly.2013.1170

L. Li, S. Ponnusamy, Solution to an open problem on convolution of harmonic mappings, Complex Var. Elliptic Equat., 58, № 12, 1647 – 1653 (2013), https://doi.org/10.1080/17476933.2012.702111 DOI: https://doi.org/10.1080/17476933.2012.702111

Y. Li, Z. Liu, Convolution of harmonic right half-plane mappings, Open Math., 14, 789 – 800 (2016), https://doi.org/10.1515/math-2016-0069 DOI: https://doi.org/10.1515/math-2016-0069

Z. Liu, Y. Jiang, Y. Sun, Convolutions of harmonic half-plane mappings with harmonic vertical strip mappings, Filomat, 31, № 7, 1843 – 1856 (2017), https://doi.org/10.2298/FIL1707843L DOI: https://doi.org/10.2298/FIL1707843L

S. Muir, Weak subordination for convex univalent harmonic functions, J. Math. Anal. and Appl., 348, 689 – 692 (2008), https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.08.015 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.08.015

S. Ponnusamy, A. Rasila, Planar harmonic and quasiregular mappings, Topics in Modern Function Theory, Chapter in CMFT, RMS-Lect. Notes Ser., № 19, 267 – 333 (2013).