Cкiнченнi групи з $\Bbb P$-субнормальною силовською підгрупою

V. N. Kniahina; V. S. Monakhov

doi:10.37863/umzh.v72i10.2264

V. N. Kniahina Francisk Skorina Gomel State University
V. S. Monakhov Francisk Skorina Gomel State University https://orcid.org/0000-0003-0977-7396

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i10.2264

Abstract

UDC 512.542

Let $\Bbb P$ be the set of all primes.
A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called $\Bbb P$-subnormal, if either $H = G$ or there exists a chain of subgroups $H = H_0\le H_1\le \ldots \le H_n = G$ such that $|H_i\colon H_{i-1}|\in \Bbb P,$ $1\le i\le n.$
We prove that any finite group with a $\Bbb P$-subnormal Sylow $p$-subgroup of odd order is $p$-solvability and any group with $\Bbb P$-subnormal generalized Schmidt subgroups is metanilpotent.

References

V. S. Monakhov, Введение в теорию конечных групп и их классов (Russian) [[Vvedenie v teoriyu konechny`kh grupp i ikh klassov]], Vy`she`jsh. shk., Minsk (2006).

B. Huppert, Endliche Gruppen I, (German) Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 134 Springer-Verlag, Berlin-New York (1967). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-64981-3

A. F. Vasil`ev, T. I. Vasil`eva, V. N. Tyutyanov, О конечных группах сверхразрешимого типа(Russian) [[O konechny`kh gruppakh sverkhrazreshimogo tipa]], Sib. mat. zhurn., 51, № 6, 1270 – 1281 (2010).

V. N. Kniahina, V. S. Monakhov, Finite groups with $P$-subnormal subgroups, Ric. Mat., 62, № 2, 307 – 322 (2013), https://doi.org/10.1007/s11587-013-0153-9 DOI: https://doi.org/10.1007/s11587-013-0153-9

V. N. Kniahina, V. S. Monakhov, On supersolvability of finite groups with $P$ -subnormal subgroups, Int. J. Group Theory, 2, № 4, 21 – 29 (2013).

V. S. Monakhov, Конечные группы с абнормальными и $U$ -субнормальными подгруппами(Russian) [[Konechny`e gruppy` s abnormal`ny`mi i $U$ -subnormal`ny`mi podgruppami]], Sib. mat. zhurn., 57, № 2, 447 – 462 (2016).

V. N. Tyutyanov, Конечные группы с $P$ -субнормальными подгруппами Шмидта, (Russian) [[Konechny`e gruppy` s $P$ -subnormal`ny`mi podgruppami Shmidta]], Problemy` fiziki, matematiki i tekhniki, № 1(22), 88 – 91 (2015).

P. J. Cameron, R. Solomon, Chains of subgroups in symmetric groups, J. Algebra, 127, № 2, 340 – 352 (1989), https://doi.org/10.1016/0021-8693(89)90256-1 DOI: https://doi.org/10.1016/0021-8693(89)90256-1

N. F. Kuzenny`j, S. S. Levishhenko, Конечные группы Шмидта и их обобщения(Russian) [[Konechny`e gruppy` Shmidta i ikh obobshheniya]], Ukr. mat. zhurn., 43, № 7-8, 963 – 968 (1991).

V. S. Monakhov, Подгруппы Шмидта, их существование и некоторые приложения(Russian) [[Podgruppy` Shmidta, ikh sushhestvovanie i nekotory`e prilozheniya]], Ukr. mat. kongr.: sb. tr., In-t matematiki NAN Ukrainy`, Kiev (2002), c. 81 – 90.

Y. G. Berkovich, Z. Janko, Groups of prime power order, Vol. 3, Walter de Gruyter (2011), https://doi.org/10.1515/9783110208238.512 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110208238.512

V. N. Knyagina, V. S. Monakhov, E. V. Zubej, О разрешимости конечной группы с $S$-полунормальными подгруппами Шмидта(Russian) [[O razreshimosti konechnoj gruppy` s $S$-polunormal`ny`mi podgruppami Shmidta]], Ukr. mat. zhurn., 70, № 11, 1511 – 1518 (2018).

D. Gorenstein, Finite simple groups. An introduction to their classification, Plenum Publ. Corp., New York (1982). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4684-8497-7

J. H. Conway, Atlas of finite groups, Clarendon, London (1985).

V. S. Monakhov, О конечных группах с заданным набором подгрупп Шмидта(Russian) [[O konechny`kh gruppakh s zadanny`m naborom podgrupp Shmidta]], Mat. zametki, 58, № 5, 717 – 722 (1995).

V. S. Monakhov, О группах с формационно субнормальными 2-максимальными подгруппами(Russian) [[O gruppakh s formaczionno subnormal`ny`mi 2-maksimal`ny`mi podgruppami]], Mat. zametki, 105, № 2, 269 – 277 (2019)

Finite groups with $\Bbb P$-subnormal Sylow subgroup

Abstract

References