Решение некоторых задач плоской теории упругости для областей с угловыми точками

Abstract

Третьей основной задачей) плоской теории упругости Н. И. Мусхели-швили называет смешанную плоскую задачу теории упругости в случае, когда на контуре нормальное смещение задано, а касательное напряжение равно нулю [1]. Н. И. Мусхелишвили решил эту задачу для областей, конформно отображаемых на круг при помощи рациональных функций [2], [3]. Для областей, ограниченных гладкими контурами, эти задача исследована Д. И. Шерманом [4]. Решения же этой задачи ни для какой области, имеющей угловые точки, как и метод ее решения, до настоящего времени не было известно.
В предлагаемой работе впервые дается решение этой задачи для прямоугольника и для остроугольного и прямоугольного треугольников. Кроме этого, для этих же областей, при помощи введения некоторых вполне определенных гипотез, касающихся порядка рею та напряжений в угловых точках, ставится и решается задача об отыскании плоского напряженного состояния по заданным на контуре нормальному напряжению и касательному смещению. Эта задача называется в дальнейшем для краткости четвертой задачей плоской теории упругости.
Решения указанных третьей и четвертой задач плоской теории упругости получены за счет некоторых новых общих формул плоского напряженного состояния, которые нам удалось установить.
Эти формулы приводят нас к совершенно общему методу решения третьей и четвертой задач для произвольных областей с угловыми точками, ограниченных кусочно прямолинейными контурами.