Estimates of approximation characteristics and properties of operators of the best approximation for the classes of periodic functions in the space $B_{1,1}$

Keywords: Nikol'skii-Besov classes, Sobolev classes, orthoprojection widths, best approximation

Abstract

UDC 517.51

We obtain the exact-order estimates for orthoprojection widths and similar approximation characteristics of the Sobolev classes $W^{\boldsymbol{r}}_{p,\boldsymbol{\alpha}}$ and Nikol'skii–Besov classes $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ of periodic functions of one and several variables in the norm of the space $B_{1,1}$.
In addition, we establish that the sequence of norms of linear operators that realize the orders of the best approximation of the classes $B^{\boldsymbol{r}}_{1,\theta}$ in space $B_{1,1}$ using trigonometric polynomials with ``numbers'' of harmonics from step hyperbolic crosses is unbounded in the multidimensional case.

References

А. С. Романюк, Энтропийные числа и поперечники классов $B^r_{p,θ}$ периодических функций многих переменных, Укр. мат. журн., 68, № 10, 1403–1417 (2016).

М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська, Поперечники класів $B^{Ω}_{p,θ}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $B_{1,1}$, Укр. мат. вісн., 15, № 1, 43–57 (2018).

D. Dung, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses Math., Birkhäuser, CRM Barselona (2019).

А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменних, Праці Ін-ту математики НАН України, 93, (2012).

П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 187, 143–161 (1989).

Т. И. Аманов, Теоремы представления и вложения для функциональных пространств $S^{(r)}_{p,θ}B(R_n)$ и $S^{(r)_*}_{p,θ}B$ $(0≤ x_j≤ 2π$; $j=1,…,n)$, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 77, 5–34 (1965).

В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной производной, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 178, 1–112 (1986).

V. N. Temlyakov, Approximation of periodic function, Nova Sci. Publ., Inc., New York (1993).

А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимаційні характеристики класів періодичних функцій багатьох змінних у просторі $B_{∞,1}$, Укр. мат. журн., 71, № 2, 271–282 (2019).

А. С. Романюк, В. С. Романюк, Оцінки деяких апроксимаційних характеристик класів періодичних функцій однієї та багатьох змінних, Укр. мат. журн., 71, № 8, 1102–1115 (2019).

В. Н. Темляков, Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных, Докл. АН СССР, 267, № 2, 314–317 (1982).

Динь Зунг, Приближение функций многих переменных на торе тригонометрическими полиномами, Мат. сб., 131(173), № 2, 251–271 (1986).

Э. М. Галеев, Порядки ортопроекционных поперечников классов периодических функций одной и нескольких переменных, Мат. заметки, 43, № 2, 197–211 (1988).

В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной про-изводной или разностью, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 189, 138–168 (1989).

Э. М. Галеев, Приближение классов периодических функций нескольких переменных ядерными операторами, Мат. заметки, 47, № 3, 32–41 (1990).

А. В. Андрианов, В. Н. Темляков, О двух методах распространения свойств систем функций от одной переменной на их тензорное произведение, Тр. Мат. ин-та РАН, 219, 32–43 (1997).

А. С. Романюк, Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова $B^r_{p, θ}$ периодических функций многих переменных в пространстве $L_q.$ I, Укр. мат. журн., 53, № 9, 1224–1231 (2001).

А. С. Романюк, Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова $B^r_{p, θ}$ периодических функций многих переменных в пространстве $L_q.$ II, Укр. мат. журн., 53, № 10, 1402–1408 (2001).

С. А. Стасюк, О. В. Федуник, Апроксимативні характеристики класів $B^{Ω}_{p,θ}$ періодичних функцій багатьох змінних, Укр. мат. журн., 58, № 5, 692–704 (2006).

А. С. Романюк, Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных, Мат. сб., 199, № 2, 93–114 (2008).

Н. Н. Пустовойтов, Ортопоперечники классов многомерных периодических функций, мажоранта смешанных модулей непрерывности которых содержит как степенные, так и логарифмические множители, Anal. Math., 34, № 3, 187–224 (2008).

Г. А. Акишев, Об ортопоперечниках классов Никольского и Бесова в пространствах Лоренца, Изв. вузов. Математика, № 2, 25–33 (2009).

Д. Б. Базарханов, Оценки поперечников Фурье классов типа Никольского–Бесова и Лизоркина–Трибеля периодических функций многих переменных, Мат. заметки, 87, № 2, 305–308 (2010).

А. С. Романюк, Поперечники и наилучшее приближение классов $B^r_{p, θ}$ периодических функций многих переменных, Anal. Math., 37, 181–213 (2011).

Д. Б. Базарханов, Приближение всплесками и поперечники Фурье классов периодических функций многих переменных. II, Anal. Math., 38, № 4, 249–289 (2012).

K. A. Bekmaganbetov, Je. Toleugazy, Order of the orthoprojection widths of the anisotropic Nikol'skii–Besov classes in the anisotropic Lorentz space, Eurasian Math. J., 7, № 3, 8–16 (2016).

Ш. А. Балгимбаева, Т. И. Смирнов, Оценки поперечников Фурье классов периодических функций с заданной мажорантой смешанного модуля гладкости, Сиб. мат. журн., 59, № 2, 277–292 (2018).

O. V. Fedunyk-Yaremchuk, S. B. Hembars'ka, Estimates of approximative characteristics of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of several variables with given majorant of mixed moduli of continuity in the space $L_q$, Carpathian Math. Publ., 11, № 2, 281–295 (2019).

A. Kolmogoroff, Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse, Ann. Math., 37, 107–110 (1936).

А. С. Романюк, Приближение классов $B^r_{p,θ}$ периодических функций многих переменных линейными методами и наилучшие приближения, Мат. сб., 195, № 2, 91–116 (2004).

J. Marcinkiewicz, Quelgues remargues sur l'interpolation, Acta Math. (Szeged), 8, № 2–3, 127–130 (1937).

А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимаційні характеристики і властивості операторів найкращого наближення класів функцій з просторів Соболєва та Нікольського–Бєсова, Укр. мат. вісн, 17, № 3, 372–395 (2020).

Published
18.08.2021
How to Cite
RomanyukA. S., and YanchenkoS. Y. “Estimates of Approximation Characteristics and Properties of Operators of the Best Approximation for the Classes of Periodic Functions in the Space $B_{1,1}$”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 73, no. 8, Aug. 2021, pp. 1102 -19, doi:10.37863/umzh.v73i8.6755.
Section
Research articles