On distortions of the transfinite diameter of disk image

  • R. Salimov Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
  • L. Vyhivska Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Wroc law University of Science and Technology
  • B. Klishchuk Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Keywords: Q-homeomorphisms, p-modulus of a family of curves, condenser, p-capacity of a condenser

Abstract

UDC 517.54, 517.12

We investigate the so-called ring $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus for $p>2$ on a complex plane. In particular, we establish a lower bound for the distortion of the transfinite diameter of disk image. Moreover, we solve the problem of minimization of the  functional of distortion of the transfinite diameter of a disk in a certain class of ring $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus.

References

V. I. Ryazanov, E. A. Sevost'yanov, Equicontinuous classes of ring $Q$-homeomorphisms, Sib. Math. J., 48, № 6, 1093–1105 (2007). DOI: https://doi.org/10.1007/s11202-007-0111-4

O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, $Q$-homeomorphisms, Complex Analysis and Dynamical Systems, Contemp. Math., 364, 193–203 (2004). DOI: https://doi.org/10.1090/conm/364/06685

O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On $Q$-homeomorphisms, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 30, № 1, 49–69 (2005).

O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Monogr. Math., New York (2009).

R. Salimov, ACL and differentiability of a generalization of quasiconformal maps, Izv. Math., 72, № 5, 977–984 (2008). DOI: https://doi.org/10.1070/IM2008v072n05ABEH002425

A. Golberg, Differential properties of $(alpha,Q)$-homeomorphisms, Further Progress in Analysis, Proc. 6th ISAAC Congr. (2009), р. 218–228. DOI: https://doi.org/10.1142/9789812837332_0015

A. Golberg, Integrally quasiconformal mappings in space, Trans. Inst. Math. NAS Ukraine, 7, № 2, 53–64 (2010).

A. Golberg, R. Salimov, Logarithmic Hölder continuity of ring homeomorphisms with controlled $p$-module, Complex Var. and Elliptic Equat., 59, № 1, 91–98 (2014). DOI: https://doi.org/10.1080/17476933.2013.823164

A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost'yanov, Distortion estimates under mappings with controlled $p$-module, Ann. Univ. Buchar. Math. Ser., 63, 95–114 (2014).

R. Salimov, On finitely Lipschitz space mappings, Sib. Elecron. Math. Rep., 8, 284–295 (2011).

Р. Р. Салимов, Об оценке меры образа шара, Сиб. мат. журн., 53, № 6, 920–930 (2012).

Р. Р. Салимов, К теории кольцевых $Q$-гомеоморфизмов относительно $p$-модуля, Укр. мат. вісн., 10, № 3, 379–396 (2013).

Р. Р. Салимов, Об одном свойстве кольцевых $Q$-гомеоморфизмов относительно $p$-модуля, Укр. мат. журн., 65, № 5, 728–733 (2013).

Б. A. Клищук, Р. Р. Салимов, Экстремальная задача для площади образа круга, Доп. НАН України, № 10, 22–27 (2016).

Б. A. Клищук, Р. Р. Салимов, Нижние оценки для площади образа круга, Уфим. мат. журн., 9, № 2, 56–62 (2017). DOI: https://doi.org/10.13108/2017-9-2-55

Б. A. Клищук, Р. Р. Салимов, Экстремальная задача для площади образа круга, Зап. научн. сем. ПОМИ, 456, 160–171 (2017).

R. Salimov, B. Klishchuk, An extremal problem for the volume functional, Mat. Stud., 50, № 1, 36–43 (2018). DOI: https://doi.org/10.15330/ms.50.1.36-43

Б. А. Клищук, Р. Р. Салимов, Нижние оценки объема образа шара, Укр. мат. журн., 71, № 6, 774–785 (2019).

M. Cristea, Local homeomorphisms satisfying generalized modular inequalities, Complex Var. and Eliptic Equat., 59, № 2, 232–246 (2014). DOI: https://doi.org/10.1080/17476933.2013.845176

M. Cristea, Some properties of open discrete

generalized ring mappings, Complex Var. and Eliptic Equat., 61, № 5, 623–643 (2016). DOI: https://doi.org/10.1080/17476933.2015.1108311

M. Cristea, Eliminability results for mappings satisfying generalized modular inequalities, Complex Var. and Eliptic Equat., 64, № 4, 676–684 (2019). DOI: https://doi.org/10.1080/17476933.2018.1477768

А. А. Маркиш, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, Об оценке искажения расстояния снизу для одного класса отображений, Укр. мат. журн., 70, № 11, 1553–1562 (2018).

A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost'yanov, Singularities of discrete open mappings with controlled $p$-module, J. Anal. Math., 127, 303–328 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s11854-015-0032-2

A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost'yanov, Poletskii type inequality for mappings from the Orlicz–Sobolev classes, Complex Anal. and Oper. Theory, 10, 881–901 (2016). DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-015-0460-0

A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost'yanov, Estimates for Jacobian and dilatation coefficients of open discrete mappings with controlled $p$-module, Complex Anal. and Oper. Theory, 11, № 7, 1521–1542 (2017). DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-016-0628-2

A. Golberg, R. Salimov, E. Sevost'yanov, Normal families of discrete open mappings with controlled $p$-module, Contemp. Math., 667, 83–103 (2016). DOI: https://doi.org/10.1090/conm/667/13533

E. Sevost'yanov, S. Skvortsov, P. Dovhopiatyi, On nonhomeomorphic mappings with the inverse Poletsky inequality, J. Math. Sci., 252, № 4, 541–557 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-020-05179-0

E. Sevost'yanov, A. Ukhlov, Sobolev mappings and moduli inequalities on Carnot groups, Укр. мат. вісн., 17, № 2, 215–233 (2020). DOI: https://doi.org/10.37069/1810-3200-2020-17-2-5

O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Definitions for quasiregular mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 448, 1–40 (1969). DOI: https://doi.org/10.5186/aasfm.1969.448

В. A. Шлык, O равенстве $p$-емкости и $p$-модуля, Сиб. мат. журн., 34, № 6, 216–221 (1993).

V. Mazya, Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev spaces, Contemp. Math., 338, 307–340 (2003). DOI: https://doi.org/10.1090/conm/338/06078

Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Наука, Москва (1966).

Н. С. Ландкоф, Основы современной теории потенциала, Наука, Москва (1966).

Г. Полиа, Г. Сеге, Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, Москва (1962).

О. К. Бахтін, І. В. Денега, Узагальнена нерівність М. О. Лаврентьєва, Укр. мат. вісн., 19, № 1, 14–34 (2022).

О. К. Бахтін, Я. В. Заболотний, Оцінки добутків деяких степенів внутрішніх радіусів багатозв’язних областей, Укр. мат. журн., 73, № 9, 1155–1169 (2021). DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i9.6682

О. К. Бахтін, Я. В. Заболотний, Оцінки добутків внутрішніх радіусів багатозв'язних областей, Укр. мат. журн., 73, № 1, 9–22 (2021). DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i1.6200

Published
02.03.2023
How to Cite
Salimov, R., L. Vyhivska, and B. Klishchuk. “On Distortions of the Transfinite Diameter of Disk Image”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 75, no. 2, Mar. 2023, pp. 207 -14, doi:10.37863/umzh.v75i2.7329.
Section
Research articles