Approximation of generalized Poisson integrals by interpolating trigonometric polynomials
Abstract
UDC 517.5
We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities for $2\pi$-periodic functions $f$ that can be represented in the form of generalized Poisson integrals of functions $\varphi$ from the space $L_p,$ $1\leq p\leq \infty.$ In these inequalities, the moduli of deviations of the interpolation Lagrange polynomials $|f(x)- \tilde{S}_{n-1}(f;x)|$ for every $x\in\mathbb{R}$ are expressed via the best approximations $E_{n}(\varphi)_{L_{p}}$ of the functions $\varphi$ by trigonometric polynomials in the $L_{p}$-metrics. We also deduce asymptotic equalities for the exact upper bounds of pointwise approximations of the generalized Poisson integrals of functions that belong to the unit balls in the spaces $L_p,$ $1\leq p\leq\infty,$ by interpolating trigonometric polynomials on the classes $C^{\alpha,r}_{\beta,p}.$
References
A. Kolmogoroff, Zur Grössenordnung des Restgliedes Fourierschen Reihen differenzierbarer Funktionen, Ann. Math. (2), 36, № 2, 521–526 (1935).
Н. П. Корнейчук, Точные константы в теории приближения, Наука, Москва (1987).
С. М. Никольский, Приближение периодических функций тригонометрическими полиномами, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 15, (1945).
K. I. Oskolkov, Inequalities of the ``large size'' type and applications to problems of trigonometric approximation, Anal. Math., 12, 143–166 (1986).
А. С. Сердюк, Про асимптотично точні оцінки похибки наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами функцій високої гладкості, Доп. НАН України, № 8, 29–33 (1999).
А. С. Сердюк, Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій, Укр. мат. журн., 64, № 5, 698–712 (2012).
А. С. Сердюк, Наближення нескінченно диференційовних періодичних функцій інтерполяційними тригонометричними поліномами, Укр. мат. журн., 56, № 4, 495–505 (2004).
А. С. Сердюк, В. А. Войтович, Наближення класів цілих функцій інтерполяційними аналогами сум Валле Пуссена, Теорія наближення функцій та суміжні питання, 7, № 1, 274–297 (2010).
А. С. Сердюк, І. В. Соколенко, Наближення класів $(psi,beta)$-диференційовних функцій інтерполяційними тригонометричними поліномами, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 13, № 1, 289–299 (2016).
А. С. Сердюк, І. В. Соколенко, Апроксимацiя класiв згорток перiодичних функцiй лiнiйними методами, побудованими на основi коефiцiєнтiв Фур’є–Лагранжа, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 14, № 1, 238–248 (2017).
А. С. Сердюк, І. В. Соколенко, Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами в метриках просторів $L_{p}$ на класах періодичних цілих функцій, Укр. мат. журн., 71, № 2, 283–292 (2019).
А. С. Сердюк, І. В. Соколенко, Наближення сумами Фур’є на класах диференційовних у сенсі Вейля–Надя функцій із високим показником гладкості, Укр. мат. журн., 74, № 5, 685–700 (2022).
А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Рівномірні наближення сумами Фур’є на класах згорток з інтегралами Пуассона, Допов. НАН України, № 11, 10–16 (2016).
A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, Uniform approximations by Fourier sums on classes of generalized Poisson integrals, Anal. Math., 45, № 1, 201–236 (2019).
А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Наближення класів узагальнених інтегралів Пуассона сумами Фур’є в метриках просторів, Укр. мат. журн., 69, № 5, 695–704 (2017).
A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, Asymptotically best possible Lebesque-type inequalities for the Fourier sums on sets of generalized Poisson integrals, Filomat, 34, № 14, 4697–4707 (2020).
A. S. Serdyuk, T. A. Stepanyuk, About Lebesgue inequalities on the classes of generalized Poisson integrals, Jaen J. Approx., 12, 25–40 (2021).
А. С. Сердюк, Т. А. Степанюк, Рівномірні наближення сумами Фур’є на множинах згорток періодичних функцій високої гладкості, Укр. мат. журн., 75, № 4, 542–567 (2023).
А. И. Степанец, Методы теории приближений}: в 2 ч., Пр. Iн-ту математики НАН України, 40, ч. I (2002).
А. И. Степанец, Методы теории приближений}: В 2 ч., Пр. Iн-ту математики НАН України, 40, ч. ІІ (2002).
А. И. Степанец, А. С. Сердюк, Приближение периодических аналитических функций интерполяционными тригонометрическими многочленами, Укр. мат. журн., 59, № 12, 1689–1701 (2000).
О. І. Степанець, А. С. Сердюк, Оцінка залишку наближення інтерполяційними тригонометричними многочленами на класах нескінченно диференційовних функцій, Теорія наближення функцій та її застосування, Праці Ін-ту математики НАН України, 31, 446–460 (2000).
О. І. Степанець, А. С. Сердюк, А. Л. Шидліч, Про деякі нові критерії нескінченної диференційовності періодичних функцій, Укр. мат. журн., 59, № 10, 1399–1409 (2007).
А. И. Степанец, А. С. Сердюк, А. Л. Шидлич, О связи классов $(psi, overline{beta})$-дифференцируемых функций с классами Жевре, Укр. мат. журн., 61, № 1, 140–145 (2009).
С. Б. Стечкин, Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций, Приближение функций полиномами и сплайнами, Тр. МИАН СССР, 145, 126–151 (1980).
С. А. Теляковский, О приближении суммами Фурье функций высокой гладкости, Укр. мат. журн., 41, № 4, 510–518 (1989).
I. I. Sharapudinov, On the best approximation and polynomials of the least quadratic deviation, Anal. Math., 9, 223–234 (1983).
Copyright (c) 2023 Анатолій Сердюк, Тетяна Степанюк
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
