Quality in extremal problems

Abstract

В работе даны некоторые основные факты двойственности выпуклых функций, приведены определения локально выпуклой функции и доказаны некоторые результаты для выпуклых и локально выпуклых функций. Рассматривается выпуклая по совокупности переменных замкнутая (полунепрерывная снизу) функция $f(x_1,x_2)$, заданная на произведении пространств $\mathfrak X_1$ и $\mathfrak X_2$, находящихся в двойственности к пространствам $\mathfrak N_1$ и $\mathfrak N_2$ относительно $\langle x_1,y_1\rangle$ и $\ll x_2,y_2\gg$ соответственно.

Исследуется задача об ${\rm inf} f (x_1,x_2)$ при условиях, что:

а)         $x_2$ — $Ax_1$, где $A$ : $\mathfrak X_1→ \mathfrak X_2$ — замкнутый линейный оператор;

б)         $x_1\in X$, где $X\subseteq \mathfrak X_1$ - некоторое выпуклое множество.