On one method to construct normal in A. N. Tikhonov’s sense of linear equations
Keywords:
-Abstract
В статье рассматривается совместная система г линейных уравнении с r неизвестными вида AX=B, где A — r´n-матрица, B — r-мерный и X — n-мерный векторы. Решение такой системы называется нормальным (в смысле Тихонова), если оно по сравнению со всеми другими решениями имеет минимальную евклидову норму.
Установлено, что уравнение AX=B разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо уравнение AA∗Y=B и что, каково бы ни было его решение Y нормальное решение X0 уравнения AX=B может быть выражено по формуле X0–A∗Y и что ||X0||2=(Y,B).
Этот результат применяется для разыскания в любом унитарном пространстве и любых линейных связях полинома, наименее уклоняющегося от нуля.
References
A. H. Тихонов, О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения, ДАН СССР, т. 163, № 3, 1965.
А. Н. Тихонов, Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений, Ж. выч. матем. и матем. физ., т. 5, № 4, 1965.
А. Н. Тихонов, Решение некорректно поставленных задач и метод регуляризации, ДАН СССР, т. 151, № 3, 1963.
А. Н. Тихонов, О регуляризации некорректно поставленных задач, ДАН СССР, т. 153, № 1, 1963.
А. Н. Тихонов, О нелинейных уравнениях первого рода, ДАН СССР, т. 161, № 5, 1965.
Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, «Наука», М., 1965.