Об одном способе построения нормальных в смысле А. Н. Тихонова решений систем линейных уравнений
Ключові слова:
-Анотація
В статье рассматривается совместная система г линейных уравнении с $r$ неизвестными вида $AX = B$, где $A$ — $r´n$-матрица, $B$ — $r$-мерный и $X$ — $n$-мерный векторы. Решение такой системы называется нормальным (в смысле Тихонова), если оно по сравнению со всеми другими решениями имеет минимальную евклидову норму.
Установлено, что уравнение $AX = B$ разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо уравнение $AA*Y = B$ и что, каково бы ни было его решение $Y$ нормальное решение $X^0$ уравнения $AX = B$ может быть выражено по формуле $X^0 – A*Y$ и что $||X^0||^2=(Y,B)$.
Этот результат применяется для разыскания в любом унитарном пространстве и любых линейных связях полинома, наименее уклоняющегося от нуля.
Посилання
A. H. Тихонов, О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения, ДАН СССР, т. 163, № 3, 1965.
А. Н. Тихонов, Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений, Ж. выч. матем. и матем. физ., т. 5, № 4, 1965.
А. Н. Тихонов, Решение некорректно поставленных задач и метод регуляризации, ДАН СССР, т. 151, № 3, 1963.
А. Н. Тихонов, О регуляризации некорректно поставленных задач, ДАН СССР, т. 153, № 1, 1963.
А. Н. Тихонов, О нелинейных уравнениях первого рода, ДАН СССР, т. 161, № 5, 1965.
Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, «Наука», М., 1965.
