Concerning the problem on stability of analytical motions

Authors

  • A. A. Martynyuk Інститут математики АН УРСР

Keywords:

-

Abstract

В статті розглядається система диференціальних рівнянь

dxsdt=Xs(x1,x2,,xn,t),s=1,2,,n

 з рівномірно аналітичними правими частинами в множині M={(x,t);|xsx0s|<rs,|tt0|<σ} і установлюється алгоритм дослідження загальної задачі про стійкість руху, не зв’язаний з обчисленням характеристичних чисел чи побудовою функцій Ляпунова. Алгоритм засновано на фактичній побудові аналітичних розв’язків у виглядів рядів

xs=r=0aSr(x0s)wr,

розміщених за незалежною змінною А. Пуанкаре

W=[eπ2ˉϱ(tt0)1][eπ2ˉϱ(tt0)+1],

де ˉϱσ0=min(B0dβW(β),σ)

і

B=max(r1,r2,,rn,σ),

W(β)=max(Brs|Xs| при |x0sxs|=¯rsbβ,|t0t|=σBβ),

з подальшим застосуванням однієї теореми Шура про збіжність.

Оцінка області початкових значеньx0s, t0, що породжують стійкі рухи xs(t;x0s;t0) знаходиться із нерівності

R[\Lambda_{\sigma m}(a_{sr},t_0)]>\varepsilon \quad (\varepsilon >0 – const),

де R [\dots]R-кон’юнкція від визначників Шура, означена формулою

f_s \wedge_1f_k=f_s+f_k-\sqrt{f_k^2+f_s^2}.

References

А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Собр. соч. т. II, Изд-во АН СССР, М.—Л., 1956.

И. Г. Малкин, Теория устойчивости движения, Гостехиздат, М.— Л., 1952.

Н. Г. Четаев, Устойчивость движения, «Наука», М., 1965.

Н. Н. Красовский, Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физмат-гиз, М., 1959.

А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, Гостехиздат, М., 1947.

А. А. Мартынюк, Об одной реализации быстросходящегося итерационного процесса решения дифференциальных уравнений и некоторых применениях, УМЖ т. 22, № 6, 1970.

В. Н. Кублановская, Применение асимптотического продолжения посредством замены переменных в численном анализе, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 53, Изд-во АН СССР, М. — Л., 1959.

Р. Беллман, Метод возмущений в приложении к нелинейной динамике, Механика (сб. переводов), 2(12), 1957.

В. И. Зубов, Аналитическая динамика гироскопических систем, «Судостроение» Л., 1970.

А. А. Мартынюк, О построении решений систем дифференциальных уравнений в области асимптотической устойчивости, УМЖ, т. 22, № 3, 1970.

J. Schur, Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind., Journal für die reine und anqewondte Mathematik, № 147, 1917, 205—232.

К. Персидский, К устойчивости движений, Матем. сб., т. 42, № 1, 1935.

В. В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, ГИТТЛ, М.—Л., 1950.

В. Л. Рвачев, Геометрические приложения алгебры логики, «Техніка», К., 1967.

Published

29.06.1971

Issue

Section

Short communications

How to Cite

Martynyuk, A. A. “Concerning the Problem on Stability of Analytical Motions ”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, vol. 23, no. 4, June 1971, pp. 534-40, https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/8589.