Concerning the problem on stability of analytical motions
Keywords:
-Abstract
В статті розглядається система диференціальних рівнянь
dxsdt=Xs(x1,x2,…,xn,t),s=1,2,…,n
з рівномірно аналітичними правими частинами в множині M={(x,t);|xs−x0s|<rs,|t−t0|<σ} і установлюється алгоритм дослідження загальної задачі про стійкість руху, не зв’язаний з обчисленням характеристичних чисел чи побудовою функцій Ляпунова. Алгоритм засновано на фактичній побудові аналітичних розв’язків у виглядів рядів
xs=∞∑r=0aSr(x0s)wr,
розміщених за незалежною змінною А. Пуанкаре
W=[eπ2ˉϱ(t−t0)−1][eπ2ˉϱ(t−t0)+1],
де ˉϱ≤σ0=min(∫B0dβW(β),σ)
і
B=max(r1,r2,…,rn,σ),
W(β)=max(Brs|Xs| при |x0s−xs|=¯rsbβ,|t0−t|=σBβ),
з подальшим застосуванням однієї теореми Шура про збіжність.
Оцінка області початкових значеньx0s, t0, що породжують стійкі рухи xs(t;x0s;t0) знаходиться із нерівності
R[\Lambda_{\sigma m}(a_{sr},t_0)]>\varepsilon \quad (\varepsilon >0 – const),
де R [\dots] — R-кон’юнкція від визначників Шура, означена формулою
f_s \wedge_1f_k=f_s+f_k-\sqrt{f_k^2+f_s^2}.
References
А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Собр. соч. т. II, Изд-во АН СССР, М.—Л., 1956.
И. Г. Малкин, Теория устойчивости движения, Гостехиздат, М.— Л., 1952.
Н. Г. Четаев, Устойчивость движения, «Наука», М., 1965.
Н. Н. Красовский, Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физмат-гиз, М., 1959.
А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, Гостехиздат, М., 1947.
А. А. Мартынюк, Об одной реализации быстросходящегося итерационного процесса решения дифференциальных уравнений и некоторых применениях, УМЖ т. 22, № 6, 1970.
В. Н. Кублановская, Применение асимптотического продолжения посредством замены переменных в численном анализе, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 53, Изд-во АН СССР, М. — Л., 1959.
Р. Беллман, Метод возмущений в приложении к нелинейной динамике, Механика (сб. переводов), 2(12), 1957.
В. И. Зубов, Аналитическая динамика гироскопических систем, «Судостроение» Л., 1970.
А. А. Мартынюк, О построении решений систем дифференциальных уравнений в области асимптотической устойчивости, УМЖ, т. 22, № 3, 1970.
J. Schur, Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind., Journal für die reine und anqewondte Mathematik, № 147, 1917, 205—232.
К. Персидский, К устойчивости движений, Матем. сб., т. 42, № 1, 1935.
В. В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, ГИТТЛ, М.—Л., 1950.
В. Л. Рвачев, Геометрические приложения алгебры логики, «Техніка», К., 1967.