До задачі про стійкість аналітичних рухів
Ключові слова:
-Анотація
В статті розглядається система диференціальних рівнянь
\[\frac{dx_s}{dt}=X_s(x_1,x_2,\dots , x_n,t),\quad s=1,2,\dots, n\]
з рівномірно аналітичними правими частинами в множині $M= \{(x, t); |x_s-x^0_s|<r_s, |t-t_0|<\sigma \}$ і установлюється алгоритм дослідження загальної задачі про стійкість руху, не зв’язаний з обчисленням характеристичних чисел чи побудовою функцій Ляпунова. Алгоритм засновано на фактичній побудові аналітичних розв’язків у виглядів рядів
\[x_s=\sum^\infty_{r=0}a_{Sr}(x^0_s)w^r,\]
розміщених за незалежною змінною А. Пуанкаре
\[W=[e^{\frac{\pi}{2\bar\varrho}(t-t_0)}-1][ e^{\frac{\pi}{2\bar\varrho}(t-t_0)}+1],\]
де $\bar\varrho\leq\sigma^0=min\left(\int_0^B\frac{d\beta}{W(\beta)},\sigma\right)$
і
$B=max(r_1,r_2,\dots,r_n,\sigma)$,
\[W(\beta)=max\left(\frac{B}{r_s}|X_s| \mbox{ при } |x^0_s-x_s|=\bar{r_s}{b}\beta, \quad |t_0-t|=\frac{\sigma}{B}\beta\right),\]
з подальшим застосуванням однієї теореми Шура про збіжність.
Оцінка області початкових значень$ x^0_s$, $t_0$, що породжують стійкі рухи $x_s(t;x^0_s;t_0)$ знаходиться із нерівності
\[R[\Lambda_{\sigma m}(a_{sr},t_0)]>\varepsilon \quad (\varepsilon >0 – const),\]
де $R [\dots]$ — $R$-кон’юнкція від визначників Шура, означена формулою
\[f_s \wedge_1f_k=f_s+f_k-\sqrt{f_k^2+f_s^2}.\]
Посилання
А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Собр. соч. т. II, Изд-во АН СССР, М.—Л., 1956.
И. Г. Малкин, Теория устойчивости движения, Гостехиздат, М.— Л., 1952.
Н. Г. Четаев, Устойчивость движения, «Наука», М., 1965.
Н. Н. Красовский, Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физмат-гиз, М., 1959.
А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, Гостехиздат, М., 1947.
А. А. Мартынюк, Об одной реализации быстросходящегося итерационного процесса решения дифференциальных уравнений и некоторых применениях, УМЖ т. 22, № 6, 1970.
В. Н. Кублановская, Применение асимптотического продолжения посредством замены переменных в численном анализе, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 53, Изд-во АН СССР, М. — Л., 1959.
Р. Беллман, Метод возмущений в приложении к нелинейной динамике, Механика (сб. переводов), 2(12), 1957.
В. И. Зубов, Аналитическая динамика гироскопических систем, «Судостроение» Л., 1970.
А. А. Мартынюк, О построении решений систем дифференциальных уравнений в области асимптотической устойчивости, УМЖ, т. 22, № 3, 1970.
J. Schur, Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind., Journal für die reine und anqewondte Mathematik, № 147, 1917, 205—232.
К. Персидский, К устойчивости движений, Матем. сб., т. 42, № 1, 1935.
В. В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, ГИТТЛ, М.—Л., 1950.
В. Л. Рвачев, Геометрические приложения алгебры логики, «Техніка», К., 1967.
