On one combined approximate method

Abstract

Рассматривается в вещественном $H$ линейное операторное уравнение

\[Au — \lambda Ku = f, D(K)\supset D(A), f \in H, \quad (1)\]

с положительно определенным в обобщенном смысле оператором $A$. Для этого уравнения с малым в некотором смысле оператором $\lambda K$ исследуется метод Галеркина — Крылова в форме

\[u_n=A^{-1}f+\lambda\sum_{k=1}^na_k^{(n)}\varphi_k \quad (2)\]

через последовательные приближения и дается оценка погрешности найденного этим методом приближенного решения уравнения (1).

Далее излагается новый комбинированный приближенный метод, названный комбинированным методом Галеркина — Крылова через последовательные приближения. Доказывается сходимость этого метода в форме (2) для уравнения (1) с вполне непрерывным в $H_{\alpha}$ оператором $T = A^{-1}K$.