A survey of the theory of operator polynomial interpolation
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v77i7.9036Keywords:
Interpolation, nonlinear operator, polynomial operator, V. V. Khlobystov, continuous interpolation nodes, interpolation integral chain fractions, Newton's interpolation operator formula, Lagrange, Hermite, and Hermite-Birkhoff interpolation operator problemsAbstract
UDC 517.988
The present survey is devoted to the 85th birthday of Volodymyr Volodymyrovych Khlobystov, prominent Ukrainian mathematician, renowned for his pioneering contributions to computational mathematics. He was a unique scholar who, despite severe visual impairments (almost total blindness) managed to get leading results in the theory of operator polynomial interpolation. Together with his colleagues and numerous students, he laid the foundations of the contemporary theory of operator polynomial interpolation. The present survey, as compared with the most well-known works of other researchers, highlights a much greater depth and power of Khlobystov’s results. As the most important of his results, we can mention the creation of a new direction in interpolation theory based on continuous nodes. For the first time, this approach balanced the continuous amount of information about the interpolated object with the continuous set of interpolation nodes in the proposed interpolants. The operator interpolation problems of Lagrange, Hermite, and Hermite-Birkhoff types were solved, the conditions for the existence and uniqueness of solutions were established, the constructive description of the entire set of corresponding interpolants was provided, a subset of interpolation polynomials preserving the polynomials of a given degree was selected, the accuracy of the interpolation formulas was analyzed, and the convergence of the interpolation processes was investigated.
References
1. С. Ю. Ульм, Об обобщенных разделенных разностях, Известия Академии наук ЭССР, Сер. Физика. Математика, 16, № 1, 13–26 (1967). DOI: https://doi.org/10.3176/phys.math.1967.1.02
2. С. Ю. Ульм, Об обобщенных разделенных разностях, Известия Академии наук ЭССР, Сер. Физика. Математика, 16, № 2, 146–156 (1967). DOI: https://doi.org/10.3176/phys.math.1967.2.05
3. С. Ульм, В. Полль, О построении обобщенных разделенных разностей, Известия Академии наук ЭССР, Сер. Физика. Математика, 18, № 1, 100–102 (1969). DOI: https://doi.org/10.3176/phys.math.1969.1.12
4. P. M. Prenter, Lagrange and Hermite interpolation in Banach space, Approx. Theory, 4, № 4, 419–432 (1971). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(71)90007-4
5. W. A. Porter, Synthesis of polynomic system, SIAM J. Math. Anal., 11, № 2, 308–315 (1980). DOI: https://doi.org/10.1137/0511029
6. В. Л. Макаров, В. В. Хлобыстов, Основы теории операторного полиномиального интерполирования, Інститут математики НАН України, Київ (1998).
7. В. Л. Макаров, В. В. Хлобыстов, Л. А. Янович, Интерполирование операторов, Наукова думка, Київ (2000).
8. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, L. A. Yanovich, Methods of operator interpolation, Праці Інституту математики НАН України, 83, Київ (2010).
9. A. D. Egorov, P. I. Sobolevsky, L. A. Yanovich, Functional integrals: approximate evaluation and application, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1993). DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-011-1761-6
10. Л. А. Янович, Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам, Навука и тэхника, Минск (1976).
11. В. А. Рвачев, Теория $R$-функций и некоторые ее приложения, Наукова думка, Киев (1982).
12. О. М. Литвин, Інтерлінація функцій та деякі її застосування, Основа, Харків (2002).
13. P. Kergin, A natural interpolation of functions, J. Approx. Theory, 29, № 4, 278–293 (1980). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(80)90116-1
14. C. A. Micchelli, P. Milman, A formula for Kergin interpolation in $R^n$, J. Approx. Theory, 29, № 4, 294–296 (1980). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(80)90117-3
15. L. Fillipson, Kergin interpolation in Banach spaces, J. Approx. Theory, № 127, 108–123 (2004). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2004.01.002
16. M. H. Stone, The generalized Weierstrass approximation theorem, Math. Mag., № 21, 167–183 (1948). DOI: https://doi.org/10.2307/3029750
17. M. Frechet, Sur les fonctionelles continues, Ann. Éc. Norm. Super. (3), № 27, 193–216 (1910). DOI: https://doi.org/10.24033/asens.619
18. P. M. Prenter, A Weierstrass theorem for real separable Hilbert spaces, J. Approx. Theory, № 3, 341–351 (1970). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(70)90039-0
19. V. I. Istratesku, A Weierstrass theorem for real Banach spaces, J. Approx. Theory, 19, № 2, 118–122 (1977). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(77)90033-8
20. И. К. Даугавет, О полиномиальном приближении операторов, Вестн. Санкт-Петербург. гос. ун-та, сер. 1, вып. 3, № 15, 23–26 (1994).
21. D. A. Cox, Application of polynomial system, AMS, Mathematics (2020).
22. W. A. Porter, An overview of polynomic system theory, IEEE Proc. Spec. Issue System Theory, 64, № 1, 18–26 (1976). DOI: https://doi.org/10.1109/PROC.1976.10063
23. В. И. Авербух, О. Г. Смолянов, Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах, Успехи мат. наук, 22, № 6, 201–260 (1967).
24. М. А. Евграфів, Інтерполяційна задача Абеля–Гончарова (Сучасні проблеми математики), Вид-во держ. зд. техн.-теор. літ. ( 1954).
25. M. V. Ignatenko, L. A. Yanovich, Newton type operator interpolation formulas based on interpolation by means of rational function, Comput. Methods Appl. Math., 2, № 2, 143–152 (2002). DOI: https://doi.org/10.2478/cmam-2002-0009
26. В. А. Треногин, Функциональный анализ, Физматлит, Москва (2002).
27. Ф. Рисс, Лекции по функциональному анализу, Мир, Москва (1979).
28. Л. А. Янович, М. В. Игнатенко, Основы теории интерполирования функций матричных переменных, Беларус. навука, Минск (2016).
29. Л. А. Янович, М. В. Игнатенко, Интерполяционные методы аппроксимации операторов, заданных на функциональных пространствах и множествах матриц, Беларус. навука, Минск (2020).
30. П. И. Соболевский, Интерполяция функционалов и некоторые приближенные формулы для интегралов по гауссовой мере, Известия Академии наук БССР, Сер. физ.-мат. наук, № 2, 5–12 (1975).
31. M. Gasca, T. Sauer, Polynomial interpolation in several variables, Adv. Comput. Math., № 12, 377–410 (2000). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1018981505752
32. L. Bos, S. Waldron, On the structure of Kergin interpolation for points in general position, Internat. Ser. Numer. Math., 137, 75–89 (2001). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8272-9_6
33. В. Л. Макаров, В. В. Хлобистов, І. І. Демків, Інтерполяція функціоналів багатьох змінних, Доп. НАН України, № 5, 29–35 (2009).
34. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, Increasing the accuracy of approximations of polynomial operator in Hilbert spaces by the interpolation methods, Dokl. Math., 49, № 1, 20–24 (1994).
35. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, Polynomial interpolation of operators in vector spaces, Dokl. Math., 47, № 2, 205–210 (1993).
36. P. G. Howlett, A. P. Torokhti, A methodology for constructive approximation of nonlinear operators defined on noncompact sets, Numer. Funct. Anal. and Optim., 19, № 2, 118–122 (1997).
37. A. P. Torokhti, P. G. Howlett, On the constructive approximation of nonlinear operators in the modelling of dynamical systems, J. Austral. Math. Soc., Ser. B, № 39, 1–27 (1997). DOI: https://doi.org/10.1017/S0334270000009188
38. В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, Москва (1977).
39. P. G. Howlett, Weak interpolation and approximation of nonlinear operators on the space $C[0,1]$, Numer. Funct. Anal. and Optim., 19, № 9-10, 1043–1052 (1998). DOI: https://doi.org/10.1080/01630569808816872
40. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, An interpolation formula of Newton type for nonlinear functionals, Soviet Math. Dokl., 40, № 1, 106–109 (1990).
41. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, An interpolation method of the identification problem solution for a functional system represented by the Uryson operator, Soviet Math. Dokl., 300, № 6, 1332–1334 (1988).
42. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, Polynomial interpolation of nonlinear functionals, Soviet Math. Dokl., 321, № 3, 470–473 (1991).
43. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, On the general structure of polynomial functional interpolants, Soviet Math. Dokl., 43, № 3, 771–774 (1991). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01061812
44. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, Polynomial interpolation of operators in Hilbert spaces, Dokl. Math., 45, № 3, 624–628 (1992).
45. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, Hermite interpolation of operators in Hilbert spaces, Dokl. Math., 46, № 3, 435–438 (1993).
46. В. В. Хлобыстов, Полиномиальное интерполирование операторов, Дис. д-ра фіз.-мат. наук, Київ (1994).
47. Е. Ф. Кашпур, Матричная модификация формул эрмитовой интерполяции в гильбертовом пространстве, Журн. обчисл. та прикл. математики, № 78, 28–37 (1994).
48. В. Л. Макаров, В. В. Хлобыстов, Е. Ф. Кашпур, К задаче эрмитовой интерполяции в гильбертовом пространстве, Журн. обчисл. та прикл. математики, № 78, 38–48 (1994).
49. В. В. Хлобыстов, Е. Ф. Кашпур, Интерполирование полиномиальных операторов в гильбертовом пространстве, Журн. обчисл. та прикл. математики, № 79, 85–91 (1995).
50. E. F. Kashpur, V. V. Khlobystov, On interpolation of polynomial operators, Cybernet. and Systems Anal., 32, 398–403 (1996). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02366503
51. К. И. Пупков, В. И. Капалин, А. С. Ющенко, Функциональные ряды в теории нелинейных систем, Наука, Москва (1976).
52. В. В. Хлобистов, О. Ф. Кашпур, Т. М. Малишева, Про множину операторних інтерполянтів, гранично інваріантних щодо поліномів, Вісн. Київ. нац. ун-ту ім. Т. Шевченка, фіз.-мат. науки, № 2, 246–252 (2006).
53. В. В. Хлобыстов, Интерполяция и экстремальные задачи в гильбертовом пространстве с мерой, Кибернетика и системный анализ, № 3, 106–120 (1999).
54. О. Ф. Кашпур, Т. М. Малишева, В. В. Хлобистов, Про точні на поліномах інтерполяційні формули в гільбертовому просторі, Вісн. Київ. нац. ун-ту ім. Т. Шевченка, фіз.-мат. науки, № 1, 168–172 (2007). DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu509
55. В. В. Хлобыстов, К вопросу о сходимости интерполяционных процессов в гильбертовом пространстве, Кибернетика и системный анализ, № 6, 171–177 (2000).
56. V. V. Khlobystov, E. F. Kashpur, On accuracy of polynomial interpolation in Hilbert space in case of approximately given values of operator in nodes, Kibernet. i Sistem. Anal., № 1, 168–174 (2002). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1015560619575
57. V. V. Khlobystov, E. F. Kashpur, Analysis of the accuracy of interpolation of entire operators in a Hilbert space in the case of perturbed nodal values, Kibernet. i Sistem. Anal., № 7, 1153–1162 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000010612.26370.80
58. В. В. Хлобыстов, Т. М. Поповичева, Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве, Укр. мат. журн., 58, № 4, 554–565 (2006).
59. В. В. Хлобыстов, Т. М. Малишева, Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве, Вісн. Київ. нац. ун-ту ім. Т. Шевченка, фіз.-мат. науки, № 3, 270–277 (2006).
60. А. Е. Кононюк, Обобщенная теория моделирования. Начала. Книга 1. Часть 2, Освіта України, Київ (2012).
61. E. F. Kashpur, V. V. Khlobystov, Invariance and uniqueness of solutions to polynomial interpolation problems in Euclidean space, J. Comput. and Appl. Math., 2, Issue 119, 8–14 (2015).
62. О. Ф. Кашпур, В. В. Хлобистов, До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах, Доп. НАН України, 10, 10–14 (2016). DOI: https://doi.org/10.15407/dopovidi2016.10.010
63. О. Ф. Кашпур, В. В. Хлобистов, Інтерполяційний поліном Лагранжа в лінійному просторі зі скалярним добутком, Доп. НАН України, 8, 12–17 (2018). DOI: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.08.012
64. E. F. Kashpur, V. V. Khlobystov, Lagrange interpolation formula in linear spaces, J. Comput. and Appl. Math., 2, Issue 128, 61–67 (2018).
65. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, Newton-type interpolation formula for nonlinear functionals, Soviet Math. Dokl., 307, № 3, 534–537 (1989).
66. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, An interpolation formula of Newton type for nonlinear functionals, Soviet Math. Dokl., 40, № 1, 106–109 (1990).
67. В. Л. Макаров, В. В. Хлобыстов, И. И. Демкив, О единственности и инвариантности интерполяционных операторных полиномов в банаховом пространстве, Труды Института математики НАН Беларуси, 11, 104–107 (2002).
68. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, I. I. Demkiv, On continual nodes of interpolation of the Newton- and Hermite-type formulas in linear topological spaces, Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., 55, № 12, 22–27 (2007).
69. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, I. I. Demkiv, Interpolation of multivariable functionals, Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., № 5, 29–35 (2009).
70. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, I. I. Demkiv, Functional Hermite polynomials in the space $Q[0,1]$, Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., № 8, 21–25 (2007).
71. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, E. F. Kashpur, B. R. Mikhal'chuk, Integral Newton-type polynomials with continual nodes, Ukr. Math. J., 55, № 6, 942–955 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000010594.60504.08
72. V. L. Makarov, I. I. Demkiv, B. R. Mikhal'chuk, Necessary and sufficient conditions of the existence of a functional interpolation polynomial on a continual set of nodes, Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., № 7, 7–12 (2003).
73. I. I. Demkiv, An interpolation functional third-degree polynomial that does not use substitution rules, Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., 8, 21–25 (2007).
74. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, E. F. Kashpur, On continual interpolation nodes for operators in linear topological spaces, Ukr. Math. J., 62, № 04, 564–574 (2010). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-010-0372-0
75. Kh. I. Kuchminskaya, Approximate calculation of functions of two variables using continued fractions with polynomial components, Mathematical collection (in Russian), Naukova Dumka, Kyiv, 31–34 (1976).
76. Kh. I. Kuchminskaya, Approximation and interpolation of functions by continued fractions and branching continued fractions (in Russian), Candidate-Degree Thesis (Physics and Mathematics), Lviv (1976).
77. V. Ya. Skorobogat'ko, Theory of branching continued fractions and its applications in computational mathematics, Nauka, Moscow (1983).
78. D. I. Bodnar, Kh. I. Kuchmins'ka, Branched continued fractions (30th anniversary of the first publication), J. Math. Sci., 90, № 5, 2324–2333 (1998).
79. M. S. Syavavko, Integral continued fractions, Naukova Dumka, Kiev (1994).
80. R. I. Mikhal'chuk, Continual analog of continued fractions, Author's Abstract of Candidate-Degree Thesis (Physics and Mathematics), Donetsk (1986).
81. R. I. Mikhal'chuk, Interpolation of nonlinear functionals by using integral continued fractions, Ukr. Math. J., 51, № 3, 364–375 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02592477
82. V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, R. I. Mikhal'chuk, Interpolational Integral Continued Fractions, Ukr. Math. J., 55, № 4, 576–587 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000010158.50027.08
83. V. L. Makarov, V. V. Demkiv, Interpolating integral continued fraction of the Thiele type, J. Math. Sci., 220, № 1, 50–58 (2017). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-016-3167-5
84. V. L. Makarov, V. V. Demkiv, Abstract interpolation by continued thiele-type fractions, Cybernet. and Systems Anal., 54, № 1, 122–129 (2018). DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-018-0013-4
Downloads
Published
Issue
Section
License
Copyright (c) 2025 Володимир Макаров, Олена Кашпур
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
