Constructive description of classes of harmonic functions with peculiarities on the quasi-conformal arc

Abstract

Пусть $L\subset C$—произвольная конечная квазиконформная дуга. Рассмотрены классы $C_{\Delta}^{\omega} (L)$ функций $u(z)$, гармонических в $\bar C \setminus L$ и непрерывных в $\bar C$ (с заданной мажорантой $\omega (\delta), \delta>0$, их модуля непрерывности).

Основной результат работы состоит в том, что при стандартных ограничениях на функцию $\omega (\delta)$:

\[\omega(\delta)\leq C\delta\int_{\delta}^1\frac{\omega(t)}{t^2}dt,\quad 0<\delta<1/2,\quad C=const>0,\]

получено описание классов $C_{\Delta}^{\omega} (L)$ в терминах возможной скорости приближения функции $u(z)$ в малых окрестностях дуги $L$ гармоническими полиномами.