Eigen-functions decomposition of commutated operators’ families and representations of commutational relations
Keywords:
-Abstract
Проекционная спектральная теорема для семейств $(A_x)_{x\in X}$ коммутирующих нормальных операторов применяется для построения коммутативных моделей семейств $(B_y)_{y\in Y}$ операторов, удовлетворяющих коммутационным соотношениям вида $A_xB_y = B_yF_x^y(A), x\in X, y \in Y$, где $F_x^y (A)$ — некоторые функции операторов первого семейства.
Полученная теорема позволяет единообразным способом построить коммутативные модели в ряде известных случаев (представления полупрямых произведений групп, канонические антикоммутационные и коммутационные соотношения, представления *-алгебры локальных наблюдаемых одномерной спиновой квантовой системы со счетным числом степеней свободы, простых $AK-C^*$-алгебр, представления счетномерных алгебр Ли токов и т. п.), а также исследовать новые ситуации.
References
Березанский Ю. М. Проекционная спектральная теорема // Успехи мат. наук.— 1984.— 39. вып. 4.—С. 3—52.
Berezanskiy Yu. M. Selfadjoint operators in spaces of functions of infinitely many variables.// Providence : Amer. Math. Soc.— 1986.—15. — 383 p.
Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства.— М. : Физматгиз, 1961.— 472 с.
Вершик А. М., Гельфанд И. М., Грасе М. И. Представления группы $SL (2, R)$, где $R$ — кольцо функции // Успехи мат. наук.— 1973.— 28, вып. 5.— С. 83—128.
Вершик А. М., Гельфанд И. М., Граев М.И. Коммутативная модель представления группы токов $SL (2, R)^X$, связанная с унипотентной подгруппой // Функц. анализ и его прил.— 1983.— 17, вып. 2.— С. 70—72.
Menikoff R., Sharp D. Н. Representations of a local current algebra: their dynamical determination // J. Math. Phys.— 1975.— 16, N 12.— P. 2341—2360.
Островский В. Л. Аналог теоремы Нельсона для ядерных нильпотентных алгебр Ли токов И Спектральная теория операторов и бесконечномерный анализ.— Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984.— С. 120—131.
Garding N., Wightman A. Representations of the anticommutation relations//Proc. Nat. Acad. Sci. USA.— 1954.— 40, N 9.— P. 617—622.
Самойленко Ю. С. Спектральная теория наборов самосопряженных операторов.— Киев : Наук. думка, 1984.— 232 с.
Жолткевич Г. Н. Представления простых $AK$-алгебр//Докл. АН УССР. Сер. А.— 1984.— № 4.— С. 9—11.
Garding L., Wightman A. Representions of the commutation relations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA.— 1954.— 40, N 9.— P. 623—626.
