A hypercomplex method for solving piecewise continuous biharmonic problem in domains with corner points
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v77i11.9215Keywords:
piecewise-continuous biharmonic problem, biharmonic function, monogenic functions, biharmonic algebra, Schwarz-type boundary value problemAbstract
UDC 517.54, 517.95
We consider a piecewise continuous biharmonic problem in domains with corner points and the corresponding Schwarz-type boundary-value problem for monogenic functions in a commutative biharmonic algebra. A method for reducing the problems to a system of integral equations is developed.
References
1. С. Г. Михлин, Плоская задача теории упругости, Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 65 (1934).
2. В. А. Кондратьев, Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками, Тр. Моск. мат. о-ва, 16, 209–292 (1967).
3. A. Kufner, A.-M. Sändig, Some applications of weighted Sobolev spaces, Teubner-Texte Math., 100, BSB BG Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig (1987). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-11385-0
4. V. Maz'ya, S. Nazarov, B. Plamenevskij, Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains, vol. 1, Oper. Theory Adv. and Appl., 111, Springer Science & Business Media (2000). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8434-1
5. Н. И. Мусхелишвили, Некоторые основные задачи математической теории упругости, Наука, Москва (1966).
6. A. I. Lurie, Theory of elasticity, Springer-Verlag, Berlin etc. (2005). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-26455-2
7. S. G. Mikhlin, N. F. Morozov, M. V. Paukshto, The integral equations of the theory of elasticity, Teubner-Texte Math., 135, Springer, Stuttgart etc. (1995). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-11626-4
8. S. G. Mikhlin, Integral equations and their applications to certain problems in mechanics, mathematical physics and technology, Pergamon Press, New York (1964).
9. В. Д. Купрадзе, Методы потенциала в теории упругости, Физматгиз, Москва (1963).
10. Я. Б. Лопатинский, Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям, Укр. мат. журн., 5, № 2, 123–151 (1953).
11. В. Г. Мазья, Граничные интегральные уравнения, Анализ-4, Итоги науки и техники, Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 27, ВИНИТИ, Мoсква, 131–228 (1988).
12. Л. Г. Магнарадзе, Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками, Труды Тбилис. мат. ин-та, 4, 43–76 (1938).
13. И. О. Радон, О краевых задачах для логарифмического потенциала, Успехи мат. наук, 1, № 3-4 (13-14), 96–124 (1946).
14. Г. Н. Положий, Решение некоторых задач плоской теории упругости для областей с угловыми точками, Укр. мат. журн., 1, № 4, 16–41 (1949).
15. G. Albinus, Multiple layer potentials for the quadrant and their application to the Dirichlet problem in plane domains with a piecewise smooth boundary, Banach Center Publ., 10, № 1, 7–26 (1983). DOI: https://doi.org/10.4064/-10-1-7-26
16. И. П. Мельниченко, С. А. Плакса, Редукция основной бигармонической задачи для квадранта к несингулярным интегральным уравнениям, Укр. мат. журн., 47, № 6, 775–784 (1995).
17. С. В. Грищук, С. А. Плакса, Бігармонічна задача для кута і моногенні функції, Укр. мат. журн., 74, № 11, 1478–1491 (2022); English translation: Ukr. Math. J., 74, № 11, 1686–1700 (2023).
18. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Schwartz-type integrals in a biharmonic plane, Intern. J. Pure and Appl. Math., 83, № 1, 193–211 (2013). DOI: https://doi.org/10.12732/ijpam.v83i1.13
19. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Monogenic functions in the biharmonic boundary value problem, Math. Methods Appl. Sci., 39, № 11, 2939–2952 (2016). DOI: https://doi.org/10.1002/mma.3741
20. С. В. Грищук, Одновимірність ядра системи інтегральних рівнянь Фредгольма для однорідної бігармонічної задачі, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 14, № 1, 128–139 (2017).
21. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Schwartz-type boundary value problems for monogenic functions in a biharmonic algebra, In: S. Rogosin, A. Çelebi (eds.), {Analysis as a Life, Dedicated to Heinrich Begehr on the Occasion of his 80th Birthday (Trends in Mathematics), Birkhaüser (2019), p. 193–211. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-02650-9_10
22. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, A hypercomplex method for solving boundary value problems for biharmonic functions, In: Š. Hošková-Mayerová, C. Flaut, F.~Maturo (eds.), Algorithms as a Basis of Modern Applied Mathematics (Studies in Fuzziness and Soft Computing), 404, Springer, Cham (2021), p.~231–255. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-61334-1_12
23. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Schwartz-type boundary-value problems for canonical domains in a biharmonic plane, J. Math. Sci., 259, 37–52 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-021-05599-6
24. В. Ф. Ковалев, И. П. Мельниченко, Бигармонические функции на бигармонической плоскости, Доп. АН УРСР. Сер. А, № 8, 25–27 (1981).
25. И. П. Мельниченко, Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга, Укр. мат. журн., 38, № 2, 252–254 (1986).
26. L. Sobrero, Nuovo metodo per lo studio dei problemi di elasticit`{a, con applicazione al problema della piastra forata, Ric. Ingegn., 13, № 2, 255–264 (1934).
27. A. Douglis, A function-theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables, Commun. Pure and Appl. Math., 6, № 2, 259–289 (1953). DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160060205
28. С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической алгебре, Укр. мат. журн., 61, № 12, 1587–1596 (2009).
29. С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической плоскости, Доп. НАН України, Сер. мат. прир. техн. науки, № 12, 13–20 (2009).
30. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Basic properties of monogenic functions in a biharmonic plane, In: M. L. Agranovskii, M. Ben-Artzi, G. Galloway, L. Karp, V. Maz'ya (eds.), Complex Analysis and Dynamical Systems V (Contemporary Mathematics), 591, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2013), p. 127–134. DOI: https://doi.org/10.1090/conm/591/11831
31. В. Ф. Ковалев, Бигармоническая задача Шварца, Киев 1986, 19 с., Препринт / НАН Украины. Ин-т математики; 86.16.
32. J. L. Walsh, W. E. Sewell, Sufficient conditions for various degrees of approximation by polynomials, Duke Math. J., 6, 658–705 (1940). DOI: https://doi.org/10.1215/S0012-7094-40-00651-2
33. П. М. Тамразов, Гладкости и полиномиальные приближения, Наукова думка, Киев (1975).
34. V. K. Dzyadyk, I. A. Shevchuk, Theory of uniform approximation of functions by polynomials, De Gruyter, Berlin (2008). DOI: https://doi.org/10.1515/9783110208245
35. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, A hypercomplex method for solving piecewise continuous biharmonic problem in domains with corner points} (in Ukrainian); ArXiv preprint / arXiv:2504.17351 [math.CV] / 30 p. (2025).
Downloads
Published
Issue
Section
License
Copyright (c) 2025 Сергій Грищук, Сергій Плакса
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
