Evolutionary inequalities for functionals with fixed points in the complex plane
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i7-8.9694Keywords:
функція Гріна, внутрішній (конформний) радіус області, функціонал, трансфінітний діаметр, (логарифмічна) ємність, еволюційна нерівністьAbstract
Dedicated to the memory of Professor Oleksandr Bakhtin
UDC 517.54
We propose an approach to getting evolutionary-type estimates for the products of inner radii of mutually non-overlapping multiply connected domains with fixed points in the complex plane for all values of a certain parameter $\gamma\in(0, n].$
References
1. L. Euler, Introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Vol. 1 (1748); URL: https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/101/.
2. L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Vol. 2 (1748); URL: https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/102/.
3. B. Riemann, Theorie der Abel'schen Functionen, J. Reine Angew. Math., 54, 115–155 (1857).
4. P. Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys., 1, № 2, 191–210 (1907).
5. L. Bieberbach, Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Sitzungsberichte König. Preuss. Akad., 138, 940–955 (1916).
6. L. A. De Branges, A proof of the Bieberbach conjecture, Acta Math., 154, 137–152 (1985).
7. М. А. Лаврентьєв, До теорії конформних відображень, Праці Фіз.-матем. ін-ту ім. В. А. Стеклова, 5, 159–245 (1934) [рос.].
8. J. A. Jenkins, Univalent functions and conformal mappings, Springer, Berlin (1962).
9. G. M. Goluzin, Geometric theory of functions of a complex variable, Amer. Math. Soc. Providence, R.I., USA (1969).
10. N. S. Landkof, Foundations of modern potential theory, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1972).
11. G. Polya, G. Szego, Isoperimetric inequalities in mathematical physics, Princeton Univ. Press, Princeton (1951).
12. P. Duren, Univalent functions, Springer-Verlag, Heidelberg, New York (1983).
13. W. K. Hayman, Multivalent functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1994).
14. Н. А. Лебедєв, Принцип площ у теорії однолистих функцій, Наука, Москва (1975) [рос.].
15. П. М. Тамразов, До загальної теореми про коефіцієнти, Мат. зб., 72 (114), № 1, 59–71 (1967) [рос.].
16. П. М. Тамразов, Деякі задачі конформного відображення, що породжують квадратичні диференціали з п'ятьма різними полюсами, Доп. АН СРСР, 169, № 6, 1279–1280 (1696) [рос.].
17. П. М. Тамразов, Екстремальні конформні відображення та полюси квадратичних диференціалів, Вісн. АН СРСР, сер. мат., 32, № 5, 1033–1043 (1968) [рос.].
18. Г. П. Бахтіна, Про екстремізацію деяких функціоналів у задачі про області, що не налягають, Укр. мат. журн., 27, № 2, 202–204 (1975) [рос.].
19. V. N. Dubinin, Condenser capacities and symmetrization in geometric function theory, Birkhäuser/Springer, Basel (2014).
20. О. Бахтін, Г. Бахтіна, Ю. Зелінський, Тополого-алгебраїчні структури та методи в комплексному аналізі, Праці Інституту математики НАН України, Київ, 73 (2008) [рос.].
21. Л. В. Ковальов, Про три області, що не перетинаються, Далекосхід. мат. журн., 1, № 1, 3–7 (2000) [рос.].
22. О. К. Бахтін, А. Л. Таргонський, Узагальнені $(n, d)$-променеві системи точок і нерівності для областей, що не налягають, і відкритих множин, Укр. мат. журн., 63, № 7, 867–879 (2011) [рос.]; English translation: Ukr. Math. J., 63, № 7, 999–1012 (2011).
23. I. V. Denega, Ya. V. Zabolotnii, Estimates of products of inner radii of non-overlapping domains in the complex plane, Complex Var. Elliptic Equat., 11, № 11, 1611–1618 (2017).
24. І. В. Денега, Оцінки внутрішніх радіусів областей, що не налягають, Укр. мат. вісн., 16, № 1, 46–56 (2019) [рос.]; English translation: J. Math. Sci., 242, № 6, 787–795 (2019).
25. І. В. Денега, Оцінка добутків внутрішніх радіусів областей з додатковою умовою симетрії, Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 33, 82–88 (2019).
26. О. К. Бахтін, І. В. Денега, Оцінки максимуму добутків внутрішніх радіусів областей, що взаємно не перетинаються, Укр. мат. журн., 72, № 2, 173–183 (2020) [рос.]; English translation: Ukr. Math. J., 72, № 2, 191–202 (2020).
27. О. К. Бахтін, І. В. Денега, Екстремальне розбиття комплексної площини з вільними полюсами, Укр. мат. вісн., 16, № 3, 307–328 (2019) [рос.]; English translation: J. Math. Sci., 246, № 1, 1–17 (2020).
28. О. К. Бахтін, Я. В. Заболотний, Оцінки добутків внутрішніх радіусів для багатозв'язних областей, Укр. мат. журн., 73, № 1, 9–22 (2021); English translation: Ukr. Math. J., 73, № 1, 6–21 (2021).
29. I. Denega, Extremal decomposition of the complex plane for $n$-radial system of points, Azerb. J. Math., 11, № 3, 64–74 (2021).
30. О. К. Бахтін, І. В. Денега, Узагальнена нерівність М. А. Лаврентьєва, Укр. мат. вісн., 19, № 1, 14–34 (2022); English translation: J. Math. Sci., 262, № 2, 138–153 (2022).
31. I. Denega, On one inequality for nonoverlapping domains, in: U. Kähler, M. Reissig, I. Sabadini, J. Vindas (eds.), Analysis, Applications, and Computations, Trends in Mathematics, Birkhäuser, Cham (2023), pp. 283–293.
32. I. Denega, Y. Zabolotnyi, Some extremal problems on the Riemannian sphere, Carpathian Math. Publ., 16, № 2, 593–605 (2024).
33. І. Denega, Я. В. Заболотний, Про добутки внутрішніх радіусів областей, що містять точки деякої прямої, Укр. мат. вісн., 21, № 2, 148–170 (2024); English translation: J. Math. Sci., 284, № 3, 299–314 (2024).
34. I. V. Denega, Y. V. Zabolotnyi, Using conformal radii of the open unit disk sectors in distortion theorems for univalent functions, Complex Anal. Synerg., 11, Article 8, 1–6 (2025).
35. Y. Zabolotnyi, I. Denega, On products of inner radii of non-overlapping domains containing certain segment points, Complex Var. Elliptic Equ., 70, № 9, 1584–1597 (2025).
