A problem with exponential integral conditions for a factorized partial differential equation
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i9-10.9769Keywords:
Integral boundary conditions, Factorized equation, Exponential moments, small denominators, almost periodic function, ill-posed problemsAbstract
UDC 517.956
In a multidimensional layer, we consider a problem with integral conditions in the form of moments with exponential weights with respect to the time variable of the unknown function for the factorized linear evolutionary partial differential equation with constant coefficients and conditions of almost periodicity with respect to the spatial variables. A criterion for the uniqueness and sufficient conditions for the existence of solution to the problem are obtained in the corresponding functional spaces. To solve the problem of small denominators appearing in the construction of the solution, we apply the metric approach.
References
1. Ya. D. Tamarkin, Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions, Math. Z., 27, № 1, 1–54 (1928).
2. J. R. Cannon, The solution of the heat equation subject to the specification of energy, Quart. Appl. Math., 21, № 2, 155–160 (1963); DOI: https://doi.org/10.1090/qam/160437.
3. П. І. Каленюк, З. М. Нитребич, В. С. Ільків, М. М. Симотюк, Лінійні інтегральні задачі для рівнянь із частинними похідними, Наукова думка, Київ (2020).
4. K. Bingė, A. Bankauskienė, A. Štikonas, Spectrum curves for a discrete Sturm–Liouville problem with one integral boundary condition, Nonlinear Anal. Model. Control, 24, № 5, 755–774 (2019); DOI: https://doi.org/10.15388/NA.2019.5.5.
5. A. Bouziani, On initial boundary value problem with Dirichlet integral conditions for a hyperbolic equation with the Bessel operator, J. Appl. Math., 2003, Article ID 324034, 487–502 (2003); DOI: https://doi.org/10.1155/S1110757X03204034.
6. J. Caballero, J. Harjani, K. Sadarangani, Existence and uniqueness of positive solutions to a class of singular integral boundary value problems of fractional order, Mediterr. J. Math., 20, Article 86 (2023); DOI: https://doi.org/10.1007/s00009-023-02294-5.
7. C.-C. Lee, M. Mizuno, S.-H. Moon, On the uniqueness of linear convection–diffusion equations with integral boundary conditions, C. R. Math., 361, 191–206 (2023); DOI: https://doi.org/10.5802/crmath.396.
8. R. Čiupaila, M. Sapagovas, K. Pupalaigė, G. K. Šaltenienė, On error estimation and convergence of the difference scheme for a nonlinear elliptic equation with an integral boundary condition, Mathematics, 13, № 5, Article 873 (2025); DOI: https://doi.org/10.3390/math13050873.
9. Y. P. Wang, S. Akbarpoor, B. Keskin, Inverse nodal problems for integro-differential Dirac operators with parameter-nonlocal integral boundary condition by using numerical methods, J. Math. Anal. Appl., 545, № 1, Article 129094 (2025); DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2024.129094.
10. X. Xu, L. Zhang, Y. Shi, L. Q. Chen, J. Xu, Integral boundary conditions in phase field models, Comput. Math. Appl., 135, 1–5 (2023); DOI: https://doi.org/10.1016/j.camwa.2022.11.025.
11. О. М. Медвідь, М. М. Симотюк, Діофантові наближення характеристичного визначника інтегральної задачі для лінійного рівняння з частинними похідними, Наук. вісник Чернів. нац. ун-ту. Математика, 228, 74–85 (2004).
12. Б. І. Пташник, В. С. Ільків, І. Я. Кміть, В. М. Поліщук, Нелокальні крайові задачі для рівнянь із частинними похідними, Наукова думка, Київ (2002).
13. S. Zagorodnyuk, On the truncated operator trigonometric moment problem, Concr. Oper., 2, № 1, 37–46 (2015); DOI: https://doi.org/10.1515/conop-2015-0002.
14. X. Jiang, X. Wang, L. L. Yang et al., $ε$-factorized differential equations for two-loop non-planar triangle Feynman integrals with elliptic curves, J. High Energy Phys., 2023, Article 187 (2023); DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP09(2023)187.
15. Л. В. Фардігола, Тест на коректність у шарі крайової задачі з інтегральною умовою, Укр. мат. журн., 42, № 11, 1546–1551 (1990); English translation: Ukr. Math. J., 42, № 11, 1388–1394 (1990); DOI: https://doi.org/10.1007/BF01066197.
16. A. A. Makarov, D. A. Levkin, Boundary-value problems in a layer for evolutionary pseudo-differential equations with integral conditions, Visn. V. N. Karazin Kharkiv Nat. Univ. Ser. Math., Appl. Math. Mech., 87, 61–68 (2018); DOI: https://doi.org/10.26565/2221-5646-2018-87-05.
17. М. М. Симотюк, О. М. Медвідь, Задача з розподіленими даними для рівнянь із частинними похідними, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 47, № 4, 155–159 (2004).
18. S. Hristova, M. I. Abbas, Ulam type stability analysis for generalized proportional fractional differential equations, Carpathian Math. Publ., 16, № 1, 114–127 (2024); DOI: https://doi.org/10.15330/cmp.16.1.114-127.
19. А. М. Кузь, Б. Й. Пташник, Задача з інтегральними умовами за часом для системи рівнянь типу Соболєва зі сталими коефіцієнтами, Укр. мат. журн., 69, № 4, 530–549 (2017); English translation: Ukr. Math. J., 69, № 4, 621–645 (2017); DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-017-1385-8.
20. A. S. Besicovitch, Almost periodic functions, Dover, Cambridge (1954).
21. А. М. Кузь, Б. Й. Пташник, Задача з інтегральними умовами за часом для рівнянь, гіперболічних за Гордингом, Укр. мат. журн., 65, № 2, 252–265 (2013); English translation: Ukr. Math. J., 65, № 2, 277–293 (2013); DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-013-0777-7.
22. V. I. Gorbachuk, M. L. Gorbachuk, Boundary value problems for operator differential equations, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London (1991).
23. G. Pólya, G. Szegö, Problems and theorems in analysis. I, Springer, Berlin, Heidelberg (1998); DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-61983-0.
24. M. Ishikawa et al., Generalizations of Cauchy's determinant and Schur's pfaffian, Adv. Appl. Math., 36, 251–287 (2006); DOI: https://doi.org/10.1016/j.aam.2005.07.001.
25. P. Hartman, Ordinary differential equations, 2nd ed., Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia (2002); DOI: https://doi.org/10.1137/1.9780898719222.
26. О. Д. Власій, Б. Й. Пташник, Задача з нелокальними умовами для систем рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, Укр. мат. вісн., 1, № 4, 501–517 (2004).
27. L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators. II, Springer-Verlag, Berlin (2005); DOI: https://doi.org/10.1007/b138375.
28. Б. В. Гнєденко, Курс теорії ймовірностей, ВПЦ ``Київський університет'', Київ (2010).
29. І. О. Бобик, М. М. Симотюк, Задача з двома кратними вузлами для рівнянь, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, Прикл. пробл. механіки і математики, 2, 46–55 (2004).
30. F. R. Gantmacher, The theory of matrices, Vol. 2, Chelsea Publ. Co., New York (1959).
