Solving the Dirichlet problem for the Lamé system by the hypercomplex method
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i5-6.9824Keywords:
Система Ляме, крайова задача Діріхле для системи Ляме, бігармонічне рівняння, бігармонічна функція, бігармонічна алгебра, моногенна функція, гіперкомплексний інтеграл Шварца, гіперкомплексний інтеграл типу Коші, конформне відображення, модуль неперервності, інтегральне рівняння ФредгольмаAbstract
UDC 517.54, 517.95
A hypercomplex method for solving the Dirichlet problem for the Lamé system in a bounded simply connected domain is developed, which is based on representing solutions via components of a monogenic function in a commutative biharmonic algebra. The Dirichlet problem is reduced to a system of integral equations by using a hypercomplex Cauchy type integral. Sufficient conditions for the Fredholm property of the specified system are established for bounded domains with a smooth boundary belonging to a class essentially wider than the class of Lyapunov curves, in the case where the given boundary functions belong to wider classes than the H\"older classes. The solution of the Dirichlet problem for a disk is obtained in explicit form.
References
1. A. V. Bitsadze, Boundary value problems for second order elliptic equations, North-Holland Ser. Appl. Math. Mech., 5, North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1968).
2. М. І. Вішик, Про сильно еліптичні системи диференціальних рівнянь, Мат. зб., 29, № 3, 615–676 (1951) [рос.].
3. Н. І. Мусхелішвілі, Деякі основні завдання математичної теорії пружності, Наука, Москва (1966) [рос.].
4. С. Г. Міхлін, Плоска задача теорії пружності, Праці Сейсмол. ін-ту АН СРСР, 65 (1934) [рос.].
5. М. А. Лаврентьєв, Б. В. Шабат, Методи теорії функцій комплексної змінної, Наука, Москва (1987) [рос.].
6. Г. В. Колосов, Про одне застосування теорії функцій комплексної змінної до плоскої задачі математичної теорії пружності, друкарня К. Маттісена, Юр'єв (1909) [рос.].
7. G. Laurichella, Sur l'integration de l'equation relative `a l'equilibre des plaques elastiques encastrées, Acta Math., 32, 201–256 (1909).
8. N. Muschelišvili, Recherches sur les problemes aux limites relatifs a l'equation biharmonique et aux equations de~l'elasticite a deux dimensions, Math. Ann., 107, № 2, 282–312 (1932).
9. Н. І. Мусхелішвілі, Новий загальний метод розв'язання основних контурних задач плоскої теорії пружності, Доп. АН СРСР, 3, № 1, 7–11 (1934) [рос.].
10. Н. І. Мусхелішвілі, Дослідження нових інтегральних рівнянь плоскої теорії пружності, Доп. АН СРСР, 3, № 2, 73–77 (1934) [рос.].
11. Д. І. Шерман, До нового методу Н. І. Мусхелішвілі у плоскій задачі теорії пружності, Доп. АН СРСР, 1, № 5, 201–206 (1936) [рос.].
12. Д. І. Шерман, До розв'язання плоскої статичної задачі теорії пружності при заданих на межі зміщеннях, Доп. АН СРСР, 27, № 9, 911–913 (1940) [рос.].
13. А. В. Біцадзе, Основи теорії аналітичних функцій комплексної змінної, Наука, Москва (1984) [рос.].
14. В. Д. Купрадзе, Граничні задачі теорії коливань та інтегральні рівняння, Гостехіздат, Москва, Ленінград (1950) [рос.].
15. В. Д. Купрадзе, Методи потенціалу в теорії пружності, Фізматгіз, Москва (1963) [рос.].
16. Н. С. Кахніашвілі, Дослідження плоских задач теорії пружності методом теорії потенціалів, Праці Тбіліс. ун-ту, 50 (1953) [рос.].
17. Я. Б. Лопатинський, Про один метод розв'язання другої основної задачі теорії пружності, Теорет. і прикл. механіка, № 1, 23–27 (1958) [рос.].
18. О. І. Паніч, Розв'язання основної крайової задачі для полігармонічного рівняння четвертого порядку на площині методом потенціалів. IV, Вісн. вузів. Математика, № 1, 118–129 (1962) [рос.].
19. S. G. Mikhlin, Integral equations and their applications to certain problems in mechanics, mathematical physics and technology, Pergamon Press, New York (1964).
20. В. Г. Маз'я, Граничні інтегральні рівняння, Підсумки науки і техніки. Сер. „Сучас. пробл. математики. Фундам. напрями”, 27, 131–228 (1988) [рос.].
21. Г. В. Гончарова, Деякі властивості розв'язків II основної задачі теорії пружності, Вісн. АН Азерб. РСР Сер. фіз.-техн. та мат. наук, № 3, 13–19 (1972) [рос.].
22. Ю. А. Боган, Регулярні інтегральні рівняння для другої крайової задачі в анізотропній двовимірній теорії пружності, Вісн. РАН. Механіка тверд. тіла, № 4, 17–26 (2005) [рос.].
23. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Schwartz-type integrals in a biharmonic plane, Int. J. Pure Appl. Math., 83, № 1, 193–211 (2013).
24. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Monogenic functions in the biharmonic boundary value problem, Math. Methods Appl. Sci., 39, № 11, 2939–2952 (2016).
25. С. В. Грищук, Одновимірність ядра системи інтегральних рівнянь Фредгольма для однорідної бігармонічної задачі, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 14, № 1, 128–139 (2017).
26. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Schwartz-type boundary value problems for monogenic functions in a biharmonic algebra, Analysis as a Life. Dedicated to Heinrich Begehr on the Occasion of His 80th Birthday (Trends in Mathe-matics), Birkhäuser, 193–211 (2019).
27. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, A hypercomplex method for solving boundary value problems for biharmonic functions, Algorithms as a Basis of Modern Applied Mathematics (Studies in Fuzziness and Soft Computing), 404, Springer, Cham, 231–255 (2021).
28. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Schwartz-type boundary value problems for canonical domains in a biharmonic plane, Укр. мат. вісник, 18 № 3, 338–358 (2021); English translation: J. Math. Sci., 259, № 1, 37–52 (2021).
29. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Biharmonic problem for an angle and monogenic functions, Ukr. Math. J., 74, 1686–1700 (2023).
30. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, A piecewise continuous Schwarz-type boundary-value problem in an angle for monogenic functions in a commutative biharmonic algebra, New Tools in Mathematical Analysis and Applications, Trends in Mathematics, Birkhäuser, Cham, 121–132 (2025).
31. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, A hypercomplex method for solving piecewise continuous biharmonic problem in~domains with corner points, Ukr. Math. J., 77, № 11, 1446–1481 (2025).
32. В. Ф. Ковальов, І. П. Мельниченко, Бігармонічні функції на бігармонічній площині, Доп. АН УРСР, Сер. А, № 8, 25–27 (1981) [рос.].
33. І. П. Мельниченко, Бігармонічні базиси в алгебрах другого рангу, Укр. мат. журн., 38, № 2, 252–254 (1986) [рос.].
34. L. Sobrero, Nuovo metodo per lo studio dei problemi di elasticita, con applicazione al problema della piastra forata, Ricerche di Ingegneria, 13, № 2, 255–264 (1934).
35. A. Douglis, A function-theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables, Comm. Pure Appl. Math., 6, № 2, 259–289 (1953).
36. С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенні функції в бігармонічній алгебрі, Укр. мат. журн., 61, № 12, 1587–1596 (2009) [рос.].
37. С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенні функції в бігармонічній площині, Доп. НАН України. Сер. мат. природ. техн. наук, № 12, 13–20 (2009) [рос.].
38. S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Basic properties of monogenic functions in a biharmonic plane, Contemp. Math., 591, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 127–134 (2013).
39. V. F. Kovalev, I. P. Mel'nichenko, Biharmonic potentials and plane isotropic displacement fields, Ukr. Math. J., 40, № 2, 197–199 (1988).
40. S. V. Gryshchuk, Representations of solutions of Lamé system with real coefficients via monogenic functions in the biharmonic algebra, Proc. Int. Geom. Cent., 16, № 1, 78–90 (2023).
41. Ф. Д. Гахов, Крайові задачі, Наука, Москва (1977) [рос.].
42. O. F. Gerus, Finite-dimensional smoothness of Cauchy-type integrals, Ukr. Math. J., 29, № 5, 490–493 (1977).
43. S. A. Plaksa, V. S. Shpakivskyi, Monogenic functions in spaces with commutative multiplication and applications, Birkhäuser, Cham (2023).
44. Н. І. Мусхелішвілі, Сингулярні інтегральні рівняння, Наука, Москва (1968) [рос.].
45. Я. Л. Геронімус, Про деякі властивості функцій, неперервних у замкнутому колі, Доп. АН СРСР, 98, № 6, 889–891 (1954) [рос.].
46. S. E. Warschawski, On differentiability at the boundary in conformal mapping, Proc. Amer. Math. Soc., 12, № 4, 614–620 (1961).
