Диференціальне рівняння мінімального порядку для системи поліномів
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i3-4.9891Ключові слова:
Поліноміальне диференціальне рвіняння, диференціальне рівняння мінімального порядку, класичні ортогонвльні поліноми, поліноми Бесселя, рекурентне співвідношенняАнотація
УДК 517.92, 517.58
Класичні ортогональні поліноми, такі як поліноми Лагерра, Лежандра, Ерміта, Гегенбауера, Якобі та поліноми Бесселя, є фундаментальним апаратом для розв'язання прикладних задач. Вони задовольняють диференціальні рівняння другого порядку. Постає питання про мінімальний порядок таких рівнянь: чи можуть такі поліноми бути розв'язками рівнянь першого порядку, а також які рівняння мінімального порядку задовольняють інші поліноми, зокрема зворотні класичні поліноми. Ми досліджуємо ці питання.
Посилання
1. H. Bateman, A. Erdélyi, Higher transcendental functions, Krieger Publishing Company (Melbourne, FL, USA), Vol. 2 (1981).
2. S. Bochner, Über Sturm–Liouvillesche polynomsysteme, Math. Z., 29, 730–736 (1929). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01180560
3. Th. Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Gordon and Breach, New York (republ.: Dover Publications, Mineola, N.Y.) (1978).
4. E. Grosswald, Bessel polynomials. Lecture Notes in Mathematics, vol. 698, Springer, Berlin, Heidelberg, Germany; New York, NY, USA (1978). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0063135
5. W. Hahn, Über orthogonalpolynome, die $q$-differenzengleichungen genügen, Math. Nachr., 2, 4–34 (1949). DOI: https://doi.org/10.1002/mana.19490020103
6. W. Hahn, On differential equations for orthogonal polynomials, Funkcial. Ekvac., 2, 1–9 (1978).
7. H. L. Krall, O. Frink, A new class of orthogonal polynomials: the Bessel polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 65, 100–115 (1949). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1949-0028473-1
8. H. M. Srivastava, On Bessel, Jacobi and Laguerre polynomials, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 35, Iss. 2, 424–432 (1965).
9. G. Szegō, Orthogonal polynomials. Fourth edition, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. XXIII, American Mathematical Society, Providence, RI (1975).
10. M. N. Mikhail, Basic sets of polynomials and their reciprocal, product and quotient sets, Duke Math. J., 20, № 3, 445–454 (1953) DOI: https://doi.org/10.1215/S0012-7094-53-02046-8
11. P. Henrici, Applied and computational complex analysis. Vol. 1: Power series, integration, conformal mapping, location of zeros, Wiley, New York (1988).
12. W. Hahn, Über lineare Differentialgleichungen, deren Lösungen einer Rekursionsformel genÜgen. II, Math. Nachr., 7, 85–104 (1952). DOI: https://doi.org/10.1002/mana.19520070203
13. V. L. Makarov, N. V. Mayko, V. L. Ryabichev, Finding the recurrence relation for the system ofpolynomials used in the fractional differential problem, Cybernet. Systems Anal., 61, № 1, 53–65 (2025). DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-025-00746-2
