Розмірність Хаусдорфа - Безиковича графіка однієї неперервної ніде не диференційовної функції

Анотація

Исследуются фрактальные свойства графика функции $$y = f(x) = ∑^{∞}_{k−1}\frac{β_k}{2^k} ≡ Δ^2_{β_1β_2…β_k…},$$ где $$\beta_1 = \begin{cases} 0 & \mbox{если } \alpha_1(x) = 0,\\ 1 & \mbox{если } \alpha_1(x) \neq 0,\\ \end{cases}$$ $$\beta_k = \begin{cases} β_{k−1} & \mbox{если } \alpha_k(x) = \alpha_{k-1}(x),\\ 1 - β_{k−1} & \mbox{если } \alpha_k(x) \neq \alpha_{k-1}(x),\\ \end{cases}$$ $‎α_k(x)$ — $k$-я троичная цифра $x$. В частности, доказано, что он является фрактальным множеством с размерностью Хаусдорфа-Безиковича $α_0(Г_f) = \log_2(1 +2^{\log_32}$ и клеточной размерностью $α_K (Г_f) = 2-\log_32$.