Two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and a nondegenerate Grassmann image of constant curvature in the Minkowski space
Abstract
UDC 514.764
We find possible values of curvature of the Grassmann manifold along the planes tangential to the Grassmann image of a two-dimensional nonisotropic surface with flat normal connection in the four-dimensional Minkowski space. It is shown that if the surface with flat normal connection is time-like, then the analyzed curvature may take values from the set $[0,1].$ However, if the surface with flat normal connection is space-like, then this curvature may take values from $(-\infty,-1]$ in the case of a space-like Grassmann image or the values from $[0,\infty)$ in the case of a time-like Grassmann image. The existence of two-dimensional nonisotropic surfaces with flat normal connection and constant curvature of their Grassmann image is proved for all values of curvature from the obtained sets.
References
Ю. А. Аминов, Геометрия подмногообразий, Наук. думка, Киев (2002).
Ю. А. Аминов, О погружении евклидовой плоскости в $E^{4}$ с нулевым гауссовым кручением, Мат. физика, анализ, геометрия, 1, № 3/4, 380–391 (1994).
А. А. Борисенко, Внутренняя и внешняя геометрия многомерных подмногообразий, Экзамен, Москва (2003).
А. А. Борисенко, Ю. А. Николаевский, О поверхностях с максимальной кривизной грассманова образа, Мат. заметки, 48, № 3, 12–19 (1990).
М. А. Гречнева, П. Г. Стеганцева, О поверхностях со стационарными значениями секционной кривизны грассманова образа, Proc. Int. Geom. Centre, 9, № 2, 42–48 (2016). DOI: https://doi.org/10.15673/tmgc.v9i2.280
В. Т. Лисица, Многомерные поверхности с плоской нормальной связностью с постоянной кривизной грассманова образа, Изв. вузов. Математика, 5, 47–51 (2004).
Ю. Г. Лумисте, А. В. Чекмазян, Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны, Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом., № 12, 3–30 (1981).
И. Маазикас, К римановой геометрии грассмановых многообразий неизотропных подпространств псевдоевклидова пространства, Уч. зап. Тартус. ун-та, 342, 76–82 (1974).
П. Г. Стеганцева, М. А. Гречнева, Грассманов образ неизотропной поверхности псевдоевклидова пространства, Изв. вузов. Математика, № 2, 65–75 (2017).
В. Т. Фоменко, Двумерные поверхности с плоской нормальной связностью в пространстве постоянной кривизны, несущие геодезические постоянной кривизны, Мат. заметки, 68, № 4, 579–586 (2000). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm978
Y. Muto, The Gauss map of submanifolds in a Euclidean space, J. Math. Soc. Japan, 30, № 1, 85–100 (1978). DOI: https://doi.org/10.2969/jmsj/03010085
Y. C. Wong, Sectional curvatures of Grassmann manifolds, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 60, № 1, 75–79 (1968). DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.60.1.75
Copyright (c) 2024 Марина Гречнєва, Поліна Стєганцева
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
