Двовимірні неізотропні поверхні з плоскою нормальною зв’язністю і невиродженим грассмановим образом сталої кривини у просторі Мінковського

Поліна Стєганцева; Марина Гречнєва

doi:10.3842/umzh.v74i4.6743

Поліна Стєганцева Запорізький національний університет
Марина Гречнєва Запорізький національний університет https://orcid.org/0000-0002-2335-3234

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v74i4.6743

Ключові слова: Поверхні з плоскою нормальною зв'язністю, грассмановий образ, простір Мінковського

Анотація

УДК 514.764

Знайдено значення, яких може набувати кривина грассманового многовиду вздовж площин, дотичних до грассманового образу двовимірної неізотропної поверхні з плоскою нормальною зв’язністю у чотиривимірному просторі Мінковського. Показано, що у випадку часоподібної поверхні з плоскою нормальною зв’язністю кривина набуває значень з множини $[0,1].$ Якщо ж поверхня з плоскою нормальною зв’язністю є просторовоподібною, то значення цієї кривини належать множині $(-\infty,-1]$ у випадку просторовоподібного грассманового образу і є невід'ємними у випадку часоподібного грассманового образу. Доведено існування двовимірних неізотропних поверхонь з плос\-кою нормальною зв’язністю та сталою кривиною їх грассманового образу для всіх значень кривини зі знайдених множин.

Посилання

Ю. А. Аминов, Геометрия подмногообразий, Наук. думка, Киев (2002).

Ю. А. Аминов, О погружении евклидовой плоскости в $E^{4}$ с нулевым гауссовым кручением, Мат. физика, анализ, геометрия, 1, № 3/4, 380–391 (1994).

А. А. Борисенко, Внутренняя и внешняя геометрия многомерных подмногообразий, Экзамен, Москва (2003).

А. А. Борисенко, Ю. А. Николаевский, О поверхностях с максимальной кривизной грассманова образа, Мат. заметки, 48, № 3, 12–19 (1990).

М. А. Гречнева, П. Г. Стеганцева, О поверхностях со стационарными значениями секционной кривизны грассманова образа, Proc. Int. Geom. Centre, 9, № 2, 42–48 (2016). DOI: https://doi.org/10.15673/tmgc.v9i2.280

В. Т. Лисица, Многомерные поверхности с плоской нормальной связностью с постоянной кривизной грассманова образа, Изв. вузов. Математика, 5, 47–51 (2004).

Ю. Г. Лумисте, А. В. Чекмазян, Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны, Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом., № 12, 3–30 (1981).

И. Маазикас, К римановой геометрии грассмановых многообразий неизотропных подпространств псевдоевклидова пространства, Уч. зап. Тартус. ун-та, 342, 76–82 (1974).

П. Г. Стеганцева, М. А. Гречнева, Грассманов образ неизотропной поверхности псевдоевклидова пространства, Изв. вузов. Математика, № 2, 65–75 (2017).

В. Т. Фоменко, Двумерные поверхности с плоской нормальной связностью в пространстве постоянной кривизны, несущие геодезические постоянной кривизны, Мат. заметки, 68, № 4, 579–586 (2000). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm978

Y. Muto, The Gauss map of submanifolds in a Euclidean space, J. Math. Soc. Japan, 30, № 1, 85–100 (1978). DOI: https://doi.org/10.2969/jmsj/03010085

Y. C. Wong, Sectional curvatures of Grassmann manifolds, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 60, № 1, 75–79 (1968). DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.60.1.75