Задача Гаусса – Кузьміна для різницевого зображення дійсних чисел рядами Енгеля

  • М. П. Мороз Iн-т математики НАН України, Київ
Ключові слова: Задача Гауса--Кузьміна, ряд Енгеля, оператор зсуву цифр (shift operator), різницеве зображення чисел рядами Енгеля (${\overline{E}}$-зображення), метричні задачі теорії ${\overline{E}}$-зображення чисел

Анотація

УДК 511.7+517.5


Нехай $x=\Delta_{g_{1}(x)\ldots g_{n}(x)\ldots}^{\bar E}$~--- різницеве зображення числа $x\in(0;1]$ рядом Енгеля (${\bar E}$-зображення), де $\Delta_{g_1\ldots g_n\ldots}^{\bar E}=\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2+g_1)\ldots(2+g_1+\ldots+g_n)},$ $\omega^n(x)=\Delta_{g_{n+1}(x)g_{n+2}(x)\ldots}^{\bar E}$ — $n$-кратний оператор лівостороннього зсуву цифр $\bar E $-зображення числа $x.$  Для послідовності множин $E_n(a)=\left\{x\colon x\in(0;1),\omega^n(x)<a\right\},$ де $a$ — фіксований параметр з $\left(0;1\right],$ доведено, що $\lim_{n\to\infty}\lambda(E_n(a))=1,$ де $\lambda(\cdot)$ — міра Лебега. Дана задача є аналогом класичної задачі Гаусса–Кузьміна для елементарних ланцюгових дробів, проте їхні розв'язки суттєво відрізняються. 

Посилання

B. I. Get'man, Zobrazhennya chisel s-adichnimi ryadami Engelya, Nauk. chasopis Nac. ped. un-tu im. M. P. Dragomanova. Ser. 1, Fiz.-mat. nauki, № 9, 212 – 224 (2008).

B. I. Get'man, Metrichni vlastivosti mnozhini chisel, viznachenih umovami na їh rozkladi v ryad Engelya, Nauk. chasopis Nac. ped. un-tu im. M. P. Dragomanova. Ser. 1, Fiz.-mat. nauki, № 10, 88 – 99 (2009).

R. O. Kuz'min, Ob odnoj zadache Gaussa, Dokl. AN SSSR, 375 – 380 (1928).

M. V. Prac'ovitij, B. I. Get'man, Ryadi Engelya ta їh zastosuvannya, Nauk. chasopis Nac. ped. un-tu im. M. P. Dragomanova. Ser. 1, Fiz.-mat. nauki, № 7, 105 – 116 (2006).

A. YA. Hinchin, Cepnye drobi, Nauka, Moskva (1978).

P. Levy, Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue. (French), Bull. Soc. Math. France, 57, 178 – 194 (1929). DOI: https://doi.org/10.24033/bsmf.1150

Опубліковано
09.08.2022
Як цитувати
МорозМ. П. «Задача Гаусса – Кузьміна для різницевого зображення дійсних чисел рядами Енгеля». Український математичний журнал, вип. 74, вип. 7, Серпень 2022, с. 1004 -08, doi:10.37863/umzh.v74i7.7159.
Розділ
Короткі повідомлення