Задача Гаусса – Кузьміна для різницевого зображення дійсних чисел рядами Енгеля
Анотація
УДК 511.7+517.5
Нехай $x=\Delta_{g_{1}(x)\ldots g_{n}(x)\ldots}^{\bar E}$~--- різницеве зображення числа $x\in(0;1]$ рядом Енгеля (${\bar E}$-зображення), де $\Delta_{g_1\ldots g_n\ldots}^{\bar E}=\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2+g_1)\ldots(2+g_1+\ldots+g_n)},$ $\omega^n(x)=\Delta_{g_{n+1}(x)g_{n+2}(x)\ldots}^{\bar E}$ — $n$-кратний оператор лівостороннього зсуву цифр $\bar E $-зображення числа $x.$ Для послідовності множин $E_n(a)=\left\{x\colon x\in(0;1),\omega^n(x)<a\right\},$ де $a$ — фіксований параметр з $\left(0;1\right],$ доведено, що $\lim_{n\to\infty}\lambda(E_n(a))=1,$ де $\lambda(\cdot)$ — міра Лебега. Дана задача є аналогом класичної задачі Гаусса–Кузьміна для елементарних ланцюгових дробів, проте їхні розв'язки суттєво відрізняються.
Посилання
B. I. Get'man, Zobrazhennya chisel s-adichnimi ryadami Engelya, Nauk. chasopis Nac. ped. un-tu im. M. P. Dragomanova. Ser. 1, Fiz.-mat. nauki, № 9, 212 – 224 (2008).
B. I. Get'man, Metrichni vlastivosti mnozhini chisel, viznachenih umovami na їh rozkladi v ryad Engelya, Nauk. chasopis Nac. ped. un-tu im. M. P. Dragomanova. Ser. 1, Fiz.-mat. nauki, № 10, 88 – 99 (2009).
R. O. Kuz'min, Ob odnoj zadache Gaussa, Dokl. AN SSSR, 375 – 380 (1928).
M. V. Prac'ovitij, B. I. Get'man, Ryadi Engelya ta їh zastosuvannya, Nauk. chasopis Nac. ped. un-tu im. M. P. Dragomanova. Ser. 1, Fiz.-mat. nauki, № 7, 105 – 116 (2006).
A. YA. Hinchin, Cepnye drobi, Nauka, Moskva (1978).
P. Levy, Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue. (French), Bull. Soc. Math. France, 57, 178 – 194 (1929). DOI: https://doi.org/10.24033/bsmf.1150
Авторські права (c) 2022 Микола Мороз
![Creative Commons License](http://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png)
Для цієї роботи діють умови ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.