Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and the Erdös problem for polynomials and splines
Abstract
UDC 517.5
We solve the extremal problem $$\big\|x^{(k)}_{\pm}\big\|_{L_p[a, b]} \to \sup, \quad k=0,1,\ldots ,r-1,\quad p > 0 ,$$ in the class of pairs $(x, I)$ of functions $x\in S^k_{\varphi}$ such that $ \varphi^{(i)} $ are the comparison functions for $ x^{(i)},$ $i=0, 1,\ldots ,k,$ and the intervals $I = [a,b]$ satisfy the conditions $$L(x)_p \le A,\quad \mu \big\{{\rm supp}_{[a, b]} x^{(k)}_{\pm}\big\} \le \mu ,$$ where $L(x)_p:=\sup \left\{\left( \displaystyle \int\nolimits_{a}^{b}|x (t)| ^pdt\right) ^{\!\frac1p}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ |x(t)|>0,\ t\in (a, b) \right\}.$ In particular, we solve the same problems on the classes $W^r_\infty({\rm \bf R})$ and on the bounded sets of spaces of trigonometric polynomials and splines and the Erd\"{o}s problem for the positive (negative) parts of polynomials and splines.
References
Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения, Наук. думка, Киев (2003).
В. Ф. Бабенко, Исследования днепропетровских математиков по неравенствам для производных периодических функций и их приложениям, Укр. мат. журн., 52, № 1, 5–29 (2000).
M. K. Kwong, A. Zettl, Norm inequalities for derivatives and differences, Lect. Notes Math., 1536, (1992). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0090864
В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Сравнение точных констант в неравенствах для производных на действительной оси и на окружности, Укр. мат. журн., 55, № 5, 579–589 (2003).
B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau–Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J. Anal. Math., 78, 263–280 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02791137
P. Erdös, Open problems in approximation theory (B. Bojanov, Ed.), SCT Publ., Singapore (1994), p. 238–242.
В. А. Кофанов, Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных, Укр. мат. журн., 66, № 2, 216–225 (2014).
A. Pinkus, O. Shisha, Variations on the Chebyshev and $L^q$ theories of best approximation, J. Approx. Theory, 35, № 2, 148–168 (1982). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(82)90033-8
В. А. Кофанов, О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси, Укр. мат. журн., 61, № 6, 765–776 (2009).
V. A. Kofanov, Some extremal problems of various metrics and sharp inequalities of Nagy–Kolmogorov type, East J. Approx., 16, № 4, 313–334 (2010).
В. А. Кофанов, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения, Укр. мат. журн., 63, № 7, 969–984 (2011).
В. А. Кофанов, Задача Боянова–Найденова для функций с несимметричными ограничениями на старшую производную, Укр. мат. журн., 71, № 3, 368–381 (2019).
В. А. Кофанов, Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными, Укр. мат. журн., 64, № 5, 1062–1075 (2012).
В. А. Кофанов, Задача Боянова–Найденова для дифференцируемых функций на оси и неравенства разных метрик, Укр. мат. журн., 71, № 6, 786–800 (2019).
V. A. Kofanov, Inequalities of different metrics for differentiable periodic functions, Ukr. Math. J., 67, № 2, 230–242 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-015-1076-2
Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун, Экстремальные свойства полиномов и сплайнов, Наук. думка, Киев (1992).
V. V. Kameneva, V. A. Kofanov, Bojanov–Naidenov problem for positive (negative) parts of differentiable functions on the real domain, Res. Math., 26, 25–30 (2018). DOI: https://doi.org/10.15421/241804
Copyright (c) 2023 Володимир Олександрович Кофанов
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
