Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and the Erdös problem for polynomials and splines

  • V. Kofanov Dnipro National University named after Oles Honchar
Keywords: Bojanov-Naidenov problem, Erd\

Abstract

UDC 517.5

We solve the extremal problem $$\big\|x^{(k)}_{\pm}\big\|_{L_p[a, b]} \to \sup, \quad k=0,1,\ldots ,r-1,\quad p > 0 ,$$ in the class of pairs $(x, I)$ of functions $x\in S^k_{\varphi}$ such that $ \varphi^{(i)} $ are the comparison functions for  $ x^{(i)},$ $i=0, 1,\ldots ,k,$ and the intervals $I = [a,b]$ satisfy the conditions $$L(x)_p \le A,\quad \mu \big\{{\rm supp}_{[a, b]} x^{(k)}_{\pm}\big\} \le \mu ,$$ where $L(x)_p:=\sup \left\{\left( \displaystyle \int\nolimits_{a}^{b}|x (t)| ^pdt\right) ^{\!\frac1p}\colon  a, b \in {\rm \bf R},\ |x(t)|>0,\ t\in (a, b) \right\}.$ In particular, we solve the same problems on the classes $W^r_\infty({\rm \bf R})$ and on the bounded sets of spaces of trigonometric polynomials and splines and the Erd\"{o}s problem for the positive (negative) parts of polynomials and splines.

References

Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения, Наук. думка, Киев (2003).

В. Ф. Бабенко, Исследования днепропетровских математиков по неравенствам для производных периодических функций и их приложениям, Укр. мат. журн., 52, № 1, 5–29 (2000).

M. K. Kwong, A. Zettl, Norm inequalities for derivatives and differences, Lect. Notes Math., 1536, (1992). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0090864

В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Сравнение точных констант в неравенствах для производных на действительной оси и на окружности, Укр. мат. журн., 55, № 5, 579–589 (2003).

B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau–Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J. Anal. Math., 78, 263–280 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02791137

P. Erdös, Open problems in approximation theory (B. Bojanov, Ed.), SCT Publ., Singapore (1994), p. 238–242.

В. А. Кофанов, Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных, Укр. мат. журн., 66, № 2, 216–225 (2014).

A. Pinkus, O. Shisha, Variations on the Chebyshev and $L^q$ theories of best approximation, J. Approx. Theory, 35, № 2, 148–168 (1982). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(82)90033-8

В. А. Кофанов, О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси, Укр. мат. журн., 61, № 6, 765–776 (2009).

V. A. Kofanov, Some extremal problems of various metrics and sharp inequalities of Nagy–Kolmogorov type, East J. Approx., 16, № 4, 313–334 (2010).

В. А. Кофанов, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения, Укр. мат. журн., 63, № 7, 969–984 (2011).

В. А. Кофанов, Задача Боянова–Найденова для функций с несимметричными ограничениями на старшую производную, Укр. мат. журн., 71, № 3, 368–381 (2019).

В. А. Кофанов, Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными, Укр. мат. журн., 64, № 5, 1062–1075 (2012).

В. А. Кофанов, Задача Боянова–Найденова для дифференцируемых функций на оси и неравенства разных метрик, Укр. мат. журн., 71, № 6, 786–800 (2019).

V. A. Kofanov, Inequalities of different metrics for differentiable periodic functions, Ukr. Math. J., 67, № 2, 230–242 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-015-1076-2

Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун, Экстремальные свойства полиномов и сплайнов, Наук. думка, Киев (1992).

V. V. Kameneva, V. A. Kofanov, Bojanov–Naidenov problem for positive (negative) parts of differentiable functions on the real domain, Res. Math., 26, 25–30 (2018). DOI: https://doi.org/10.15421/241804

Published
02.03.2023
How to Cite
Kofanov, V. “Bojanov–Naidenov Problem for Differentiable Functions and the Erdös Problem for Polynomials and Splines”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 75, no. 2, Mar. 2023, pp. 182 -97, doi:10.37863/umzh.v75i2.7259.
Section
Research articles