Задача Боянова–Найдьонова для диференційовних функцій і задача Ердьоша для поліномів та сплайнів

Володимир Кофанов

doi:10.37863/umzh.v75i2.7259

Володимир Кофанов Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v75i2.7259

Ключові слова: Задача Боянова-Найдьонова, задача Ердьоша, поліноми, сплайни

Анотація

УДК 517.5

Розв'язано екстремальну задачу $$\big\|x^{(k)}_{\pm}\big\|_{L_p[a, b]} \to \sup, \quad k=0,1,\ldots ,r-1,\quad p > 0 ,$$ на класi пар $(x, I)$ функцiй $x\in S^k_{\varphi},$ похiднi яких $x^{(i)},$ $i=0, 1,\ldots ,k,$ мають функцiями порiвняння вiдповiднi похiднi $ \varphi^{(i)},$ та інтервалів $I = [a,b],$ які задовольняють умови $$L(x)_p \le A,\quad \mu \{{\rm supp}_{[a, b]} x^{(k)}_{\pm}\} \le \mu ,$$ де $L(x)_p:=\sup \left\{\left( \displaystyle \int\nolimits_{a}^{b}|x (t)| ^pdt\right) ^{\frac1p}\colon a, b \in {\rm \bf R},\;|x(t)|>0,\;t\in (a, b) \right\}.$ Як наслiдок розв'язано такi ж задачі на класах $W^r_\infty({\rm\bf R})$ i на обмежених множинах просторів тригонометричних полiномiв i сплайнiв та задачу Ердьоша для додатних (вiд'ємних) частин полiномiв і сплайнiв.

Посилання

Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Неравенства для производных и их приложения, Наук. думка, Киев (2003).

В. Ф. Бабенко, Исследования днепропетровских математиков по неравенствам для производных периодических функций и их приложениям, Укр. мат. журн., 52, № 1, 5–29 (2000).

M. K. Kwong, A. Zettl, Norm inequalities for derivatives and differences, Lect. Notes Math., 1536, (1992). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0090864

В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов, Сравнение точных констант в неравенствах для производных на действительной оси и на окружности, Укр. мат. журн., 55, № 5, 579–589 (2003).

B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau–Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos, J. Anal. Math., 78, 263–280 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02791137

P. Erdös, Open problems in approximation theory (B. Bojanov, Ed.), SCT Publ., Singapore (1994), p. 238–242.

В. А. Кофанов, Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных, Укр. мат. журн., 66, № 2, 216–225 (2014).

A. Pinkus, O. Shisha, Variations on the Chebyshev and $L^q$ theories of best approximation, J. Approx. Theory, 35, № 2, 148–168 (1982). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(82)90033-8

В. А. Кофанов, О некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси, Укр. мат. журн., 61, № 6, 765–776 (2009).

V. A. Kofanov, Some extremal problems of various metrics and sharp inequalities of Nagy–Kolmogorov type, East J. Approx., 16, № 4, 313–334 (2010).

В. А. Кофанов, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения, Укр. мат. журн., 63, № 7, 969–984 (2011).

В. А. Кофанов, Задача Боянова–Найденова для функций с несимметричными ограничениями на старшую производную, Укр. мат. журн., 71, № 3, 368–381 (2019).

В. А. Кофанов, Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными, Укр. мат. журн., 64, № 5, 1062–1075 (2012).

В. А. Кофанов, Задача Боянова–Найденова для дифференцируемых функций на оси и неравенства разных метрик, Укр. мат. журн., 71, № 6, 786–800 (2019).

V. A. Kofanov, Inequalities of different metrics for differentiable periodic functions, Ukr. Math. J., 67, № 2, 230–242 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-015-1076-2

Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун, Экстремальные свойства полиномов и сплайнов, Наук. думка, Киев (1992).

V. V. Kameneva, V. A. Kofanov, Bojanov–Naidenov problem for positive (negative) parts of differentiable functions on the real domain, Res. Math., 26, 25–30 (2018). DOI: https://doi.org/10.15421/241804