Realization of the exact three-point finite-difference schemes for the system of second-order ordinary differential equations
Abstract
UDC 517.9 + 519.6
We consider the exact three-point finite-difference scheme (EDS) for the Dirichlet boundary-value problem for a system of second-order ODEs. We find weaker conditions (as compared to the known conditions) under which the analyzed scheme can be represented in the divergence form. The coefficient stability of the EDS and the accuracy of the perturbed scheme are investigated. We show that the matrix coefficients and the right-hand side of the equation can be represented via the solutions of four initial-value problems on the intervals whose length is equal to the length of a grid step. The solutions of these problems can be obtained by using an arbitrary one-step method, which leads to a truncated difference scheme of a certain rank.
References
А. А. Самарский, Теория разностных схем, Наука, Москва (1989).
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных схемах, Докл. АН СССР, 122, № 4, 562–565 (1958).
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных схемах, Журн. вычислит. математики и мат. физики, 1, № 1, 5–63 (1961).
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных схемах, Журн. вычислит. математики и мат. физики, 3, № 1, 425–430 (1961).
А. А. Самарский, Р. Д. Лазаров, В. Л. Макаров, Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями, Высш. шк., Москва (1989).
В. Л. Макаров, И. Л. Макаров, В. Г. Приказчиков, Точные разностные схемы и схемы любого порядка точности для систем дифференциальных уравнений второго порядка, Дифференц. уравнения, 15, № 7, 1194–1205 (1979).
А. А. Самарский, В. Л. Макаров, О реализации точных трехточечных разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами, Докл. АН СССР, 312, № 3, 538–543 (1990).
А. А. Самарский, В. Л. Макаров, О реализации точных трехточечных разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами, Дифференц. уравнения, 26, № 7, 1254–1265 (1990).
А. А. Самарский, В. Л. Макаров, Точные трехточечные разностные схемы для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и их реализация, Докл. АН СССР, 312, № 4, 795–800 (1990).
I. P. Gavrilyuk, M. Hermann, V. L. Makarov, M. Kutniv, Exact and truncated difference schemes for boundary value ODEs, Internat. Ser. Numer. Math., 159, Birkhäuser, Basel (2011). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0107-2
Exaсt finite-difference schemes, S. Lemeshevsky, P. Matus, D. Poliakov (Eds.), De Gruyter (2016).
I. Gavrilyuk, M. Kutniv, V. Makarov, Exact and truncated difference schemes for boundary value problem, Exaсt finite-difference schemes, De Gruyter (2016), p. 165–203. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110491326-007
R. E. Mickens, T. M. Washington, Use of exact difference schemes to construct NSFD discretizations of differential equations, Exaсt Finite-Difference Schemes, De Gruyter (2016), p. 144–164. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110491326-006
М. В. Кутнів, М. Круль, Нова алгоритмічна реалізація точних триточкових різницевих схем для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, Укр. мат. журн., 74, № 2, 204–219 (2022). DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i2.6935
E. F. Beckenbach, R. Bellman, Inequalities, Springer-Verlag, Berlin (1961). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-64971-4
Л. А. Люстерник, В. И. Соболев, Элементы функционального анализа, Наука, Москва (1965).
М. В. Кутнив, В. Л. Макаров, А. А. Самарский, Точные трехточечные разностные схемы для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и их реализация, Журн. вычислит. математики и мат. физики, 39, № 1, 45–60 (1999).
Copyright (c) 2023 Наталія Майко, Володимир Макаров, Вячеслав Рябічев
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
