Реалізація точних триточкових різницевих схем для системи звичайних диференціальних рівнянь 2-го порядку

В. Л.  Макаров; Н. В.  Майко; В. Л.  Рябічев

doi:10.37863/umzh.v75i1.7373

В. Л. Макаров Інститут математики НАН України, Київ https://orcid.org/0000-0002-4883-6574
Н. В. Майко Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка https://orcid.org/0000-0002-8810-7464
В. Л. Рябічев Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка https://orcid.org/0000-0002-8637-4980

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v75i1.7373

Ключові слова: Система звичайних диференціальних рівнянь, крайова задача, задача Коші, шаблонна матрична функція, точна схема, дивергентний вигляд, алгоритмічна реалізація, коефіцієнтна стійкість, порядок точності

Анотація

УДК 517.9 + 519.6

Досліджено точну триточкову різницеву схему (ТТРС) для системи звичайних диференціальних рівнянь 2-го порядку з крайовими умовами першого роду. Знайдено послаблені умови (порівняно з відомими), за яких можливе перетворення ТТРС до однорідного дивергентного вигляду. Доведено теореми про коефіцієнтну стійкість і точність. Показано, що коефіцієнти ТТРС можна подати через розв'язки чотирьох задач Коші на проміжках довжини кроку сіт\-ки. Розв'язки цих задач можна одержати за допомогою будь-якого однокрокового методу, що приводить до усіченої різницевої схеми відповідного рангу.

Біографічна довідка автора

Н. В. Майко, Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка

Department of Mathematics and Theoretical Radiophysics

Посилання

А. А. Самарский, Теория разностных схем, Наука, Москва (1989).

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных схемах, Докл. АН СССР, 122, № 4, 562–565 (1958).

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных схемах, Журн. вычислит. математики и мат. физики, 1, № 1, 5–63 (1961).

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных схемах, Журн. вычислит. математики и мат. физики, 3, № 1, 425–430 (1961).

А. А. Самарский, Р. Д. Лазаров, В. Л. Макаров, Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями, Высш. шк., Москва (1989).

В. Л. Макаров, И. Л. Макаров, В. Г. Приказчиков, Точные разностные схемы и схемы любого порядка точности для систем дифференциальных уравнений второго порядка, Дифференц. уравнения, 15, № 7, 1194–1205 (1979).

А. А. Самарский, В. Л. Макаров, О реализации точных трехточечных разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами, Докл. АН СССР, 312, № 3, 538–543 (1990).

А. А. Самарский, В. Л. Макаров, О реализации точных трехточечных разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами, Дифференц. уравнения, 26, № 7, 1254–1265 (1990).

А. А. Самарский, В. Л. Макаров, Точные трехточечные разностные схемы для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и их реализация, Докл. АН СССР, 312, № 4, 795–800 (1990).

I. P. Gavrilyuk, M. Hermann, V. L. Makarov, M. Kutniv, Exact and truncated difference schemes for boundary value ODEs, Internat. Ser. Numer. Math., 159, Birkhäuser, Basel (2011). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0107-2

Exaсt finite-difference schemes, S. Lemeshevsky, P. Matus, D. Poliakov (Eds.), De Gruyter (2016).

I. Gavrilyuk, M. Kutniv, V. Makarov, Exact and truncated difference schemes for boundary value problem, Exaсt finite-difference schemes, De Gruyter (2016), p. 165–203. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110491326-007

R. E. Mickens, T. M. Washington, Use of exact difference schemes to construct NSFD discretizations of differential equations, Exaсt Finite-Difference Schemes, De Gruyter (2016), p. 144–164. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110491326-006

М. В. Кутнів, М. Круль, Нова алгоритмічна реалізація точних триточкових різницевих схем для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, Укр. мат. журн., 74, № 2, 204–219 (2022). DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i2.6935

E. F. Beckenbach, R. Bellman, Inequalities, Springer-Verlag, Berlin (1961). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-64971-4

Л. А. Люстерник, В. И. Соболев, Элементы функционального анализа, Наука, Москва (1965).

М. В. Кутнив, В. Л. Макаров, А. А. Самарский, Точные трехточечные разностные схемы для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и их реализация, Журн. вычислит. математики и мат. физики, 39, № 1, 45–60 (1999).