О решениях задачи Дирихле для эллиптических систем в круге

V. P. Bursky

V. P. Bursky Ин-т прикл. математики и механики АН Украины, Донецк

Abstract

We study $2\times2$ second–order elliptic systems, which can be written as a single equation with complex coefficients. In an arbitrary bounded region with smooth boundary, we obtain necessary and sufficient conditions on the trace relation of a solution, which we apply in the case of a disk. We prove existence and uniqueness theorems for a solution in a Sobolevskii space of an equation which is not properly elliptic. In particular, we prove that the properties of the problem determine the angle between the bicharacteristics. If it is $\pi$–rational, then there is no uniqueness, but if it is $\pi$–irrational, then the smoothness of the solution of the Dirichlet problem depends on the order of its approximation by $\pi$–rational numbers; but if it is nonreal, then the problem has the usual properties for the elliptic case.

References

Бурский В.П. Краевые задачи для гиперболического уравнения второго порядка в круге // Изв. вузов. Математика.–1987.–№ 2.–С.22–29.

Никольский С.М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения.– М.: Наука, 1979.–456 с.

Хермандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных.–М.: Изд–во иностр. лит., 1959.–132 с.

Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов: В 4–х т.–М.: Мир, 1986. –Т.2.– 456 с.

Лионе Ж.–Л., Мандженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.– М.: Мир, 1971.– 372 с.

Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.–М.: Мир, 1966.– 352 с.

Хинчин А.Я. Цепные дроби.–М.: Наука, 1961.– 112 с.

On solutions of the Dirichlet problem for elliptic systems on a circle

Abstract

References