Generalized symmetrical power problem of moments

Abstract

Рассматривается следующее обобщение многомерной степенной проблемы моментов. Пусть $\mathfrak H$ — ядерное пространство с инволюцией —, $\mathfrak H^n=\mathfrak H \bigotimes \dots \bigotimes \mathfrak H (\mathfrak H ^0=C)$ , инволюция распространяется на $\mathfrak H^n$ посредством тензорных степеней. Последовательность $S=(S_n)_{n=0}^\infty$, где $S_n \in (\mathfrak H^n)ʹ$  и симметрично, называется моментной, если $\sum_{j,k=0}^\infty S_{j+k}(u_j \bigotimes \bar u_k) \geq0$ для любой финитной последовательности $(u_j)_{j=0}^\infty$, $u_j \in =\mathfrak H^j$. Для моментной последовательности, удовлетворяющей некоторым ограничениям роста по $n$, доказывается представление

$$S_n=\int_{\mathfrak Hʹ \rm{Re} } \underbrace{\lambda \bigotimes \dots \bigotimes \lambda }_n d\varrho(\lambda), \quad (n=0,1,\dots),$$

где $d\varrho(\lambda)$ — некоторая неотрицательная мера на вещественной части $\mathfrak Hʹ \rm{Re}$ пространства $\mathfrak Hʹ $ . Ограничения на рост таковы, что мера $d\varrho(\lambda)$ может по $S$ определиться как однозначно, так и неоднозначно. Рассмотрены примеры.