Про еквівалентність у просторах аналітичних функцій операторів Ейлера-Помм'є

Анотація

У просторі $A (θ)$ всіх однозначних аналітичних у довільній області $G ⊂ ℂ (0 ∈ G)$ функцій $f(z)$ з топологією компактної збіжності встановлено необхідні і достатні умови еквівалентності операторів $L_1=α_n z^n Δ^n + ... + α_1 zΔ + α_0 E$ і $L_2= z^n a_n (z)Δ^n + ... + za_1(z)Δ + a_0(z)E,\;$ де $δ: (Δƒ)(z)=(f(z) - ƒ(0))/z$ — оператор Помм'є в $A(G), n ∈ ℕ, α_n ∈ ℂ, a_k (z) ∈ A(G), 0 ≤ k ≤ n$, і виконується умова $Σ_{j = s}^{n−1} α_{j+1} ∈ 0, s = 0,1,...,n−1.$ Доведено також, що оператори $z^{s+1}Δ+β(z)E, β(z) ∈ A_R , s ∈ ℕ,$ і $z^{s+1}$ еквівалентні в просторах $A_R, 0 < R <= ∞$, тоді і тільки тоді, коли $P(z) = 0$