$\scr{Z^{ \ast}}$ - напiвлокальнi модулi та власний клас $\scr{RS}$

Анотація

Над довiльним кiльцем модуль $M$ називається $\scr{Z^{ \ast}}$ -напiвлокальним, якщо кожний пiдмодуль $U$ модуля $M$ має $\scr{Z^{\ast}}$ -доповнення $V$ в $M$, тобто $M = U + V$ i $U \cap V \subseteq \scr{Z^{\ast}} (V)$, де $\scr{Z^{\ast}}(V) = \{ m \in V | Rm$ — малий модуль$\}$ — $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}$-малий пiдмодуль. У цiй роботi вивчаються базовi властивостi таких модулiв, як вiдповiдного узагальнення напiвлокальних модулiв. Зокрема, показано, що клас $\scr{Z^{ \ast}}$ -напiвлокальних модулiв є замкненим вiдносно пiдмодулiв, прямих сум i фактор-модулiв. Крiм того, доведено, що кiльце $R \in \scr{Z^{ \ast}}$ -напiвлокальним тодi i тiльки тодi, коли кожен iн’єктивний лiвий $R$-модуль є напiвлокальним. Також встановлено, що клас $\scr{RS}$ усiх коротких послiдовностей $E :0 \xrightarrow{\psi} M \xrightarrow{\phi} K \rightarrow 0$ таких, що $\mathrm{Im}(\psi)$ має $\scr{Z^{ \ast}}$-доповнення в $N$, є власним класом над лiвими спадковими кiльцями. Вивчено також деякi гомологiчнi об’єкти власного класу $\scr{RS}$.