Симплектичний аналіз динамічних систем з малим параметром. Новий критерій стабілізації гомоклінічних сепаратрис та його застосування

Ю. О. Митропольський; І. О. Антонишин; А. К. Прикарпатський; В. Г. Самойленко

Ю. О. Митропольський Ін-т математики АН України, Київ
І. О. Антонишин Ін-т математики АН України, Київ
А. К. Прикарпатський Ін-т прикл. пробл. механіки і математики АН України, Львів
В. Г. Самойленко Ін-т математики АН України, Київ

Ключові слова: Динамическая система, Малый параметр, Точный метод

Анотація

Досліджуються адіабатичні інваріанти нелінійних динамічних систем автономного і неавтономного типу на симплектичних многовидах, зокрема, критерії їх існування та методи їх явної побудови. Проведено грунтовний аналіз явища розщеплення гомоклінічноі сепаратриса з особливою точкою гіперболічного типу, а також запропоновано новий, точний метод побудови аналога μ-функпії Мельникова, що дає необхідні та достатні умови трансверсальности який автоматично узагальнений на випадок динамічної системи в Rⁿ, n ∈ Z₊.

Посилання

Бакай А. С., Степановский Ю. П. Адиабатические инварианты.— Киев : Наук, думка, 1981.— 284 с.

Краскал М. Адиабатические инварианты: Пер. с англ.— М. : Изд-во иностр, лит., 1962.— 92 с.

Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М. : Наука, 1984.— 432 с.

Мельников В. К. Об устойчивости центра при периодических во времени возмущениях// Гр. Моск. мат. о-ва.— 1963.— 12, № 1.— С. 3—52.

Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // Успехи мат. наук.— 1983.— 38, № 1.— С. 3—67.

Митропольский Ю. А. К вопросу об адиабатическом инварианте// Мат. физика и нелинейн. механика.— 1990.— Вып. 14.— С. 1—30.

Прикарпатский А. К., Микитюк И. В. Алгебраические аспекты интегрируемости нелинейных динамических систем на многообразиях.— Киев : Наук, думка, 1991.— 287 с.

Marsden J. Е. Four applications of nonlinear analysis to physics and Engineering// New directions in Appl. Math.— 1982.— 10.— P. 85—107.

Holmes Ph. J., Marsden J. E. Horsephoes and Arnold diffusion for Hamiltonian systems on Lie groups// Indiana Univ. Math. J.— 1983.— 32, N 2.— P. 273--309

Интегрируемые динамические системы / Ю. А. Митропольский, Н. Н. Боголюбов (мл.). А. К. Прикарпатский, В. Г. Самойленко.— Киев : Наук, думка, 1987.— 296 с.

Митропольский Ю. Л., Антонишин И. О., Прикарпатский А. К- Адиабатические инварианты нелинейных динамических систем с малым параметром // Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах.— Киев : Ин-т математики АН УССР, 1991.— С. 90—93.

Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. — М. : Мир, 1975.— 304 с.

Палис Ж., Димелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение.— М. : Мир, 1986.— 304 с.

Аносов Д. В. Гладкие динамические системы.— М. : ВИНИТИ, 1985.— С. 152—203.— (Итоги науки и техники. Совр. пробл. математики; Т. 1).

Wiggins S., Holmes Ph. Homoclinic orbits in slowly varying oscillators// SIAM J. Math. Anal.— 1987.— 18, N 3.— P. 612—629.

Holmes Ph. J., Marsden J. E. Horseshoes in Perturbations of Hamiltonian systems with Degrees of Freedom H Communs. Math. Phys.— 1982.— 82, N 3.— P. 523—544.

Holmes Ph., Marsden J. E. Melnicov’s method and Arnold diffusion for perturbations of integrable Hamiltonian systems // J. Math. Phys.— 1982.— 23, N 4.— P. 669—675.

Holmes Ph. J. Averaging and Chaotic motions in forced oscillation // SIAM J. App. Math.— 1980.— 38, N 1.—P. 65—80; — 1981.— 40, N 1.—P. 167—168.

Holmes Ph. J., Marsden J. E. A partial differential equation with infinitely many Periodic orbits: Chaotic Oscillations of forced beam H Arch. Ration. Meeh, and Anal.— 1981.— 76, N 2.— P. 135—165.

Holmes Ph. J., Marsden J. E. Bifurcation to divergence and flutter in flow-induced Oscillations : An infinite dimensional analysis //Automatica.— 1978.— 14, N 3.— P. 367— 384.

Chow S.-N. An example of bifurcation to homoclinic orbits//J. Different. Equat.— 1980.— 37, N 3.— P. 351—373.

Chow S.-N., Hale J. K. Method of bifurcation theory.— New York etc.: Springer, 1982.— 250 p.

Guchenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear oscillations dynamical systems and bifurcations of vector fields.— New York etc.: Springer, 1983. — 453 p.

Hale J. K. Asymptitic behavior of dissipative systems.— New York etc.: Springer, 1988.—

— 200 p.

Moser J. Stable and Random motions in dynamical systems П Ann. Math. Stud.— 1973.— N 77.— 120 p.

Chow S.-N., Hale J. K., Mallet-Paret J. An example of bifurcation to homoclinic orbits ft J. Different. Equat.— 1980.— 37, N 2.— P. 351—373.

Boutet de Monvel-Berthier A., Nenciu G. On the theory of adiabatic invariants for linear hamiltonian systems // C. r. Acad. sci. A.— 1990.— 310. — P. 807—812.

Churchill R. C. On proving the nonintegrability of a Hamiltonian system H Leet. Notes Math.— 1982.— 925.— P. 103—122.

Coullet P., Elphick C. Topological defects dynamics and Melnicov theory // Phys. Lett. A.— 1987.— 121, N 5.— P. 233—236.

Salam F. M. A. Melnicov technique for highly dissipative systems //SIAM J. AppL Math.— 1987.— 47, N 2.— P. 232—243.

Ling F. H. A numerical study of the applicability of Melnicov’s method // Phys. Lett. A.— 1987.— 119, N 9.— P. 447—452; 122, N 1.— P. 413—417 (with Bao G. W.).

Притула M. M., Прикарпатський А. К., Микитюк І. В. Елементи теорії диференціально-геометричних структур та динамічних систем.— К. : УМК ВО, 1988.— 86 с.

Olver Р. Hamiltonian perturbation theory and water waves // Contemp. Math.— 1984.— 28.— P. 231—249.

Заславский Г. M. Стохастичность динамических систем.— М. : Наука, 1984.— 272 с.

Duarte J. Т., Mendes R. V. Deformation dynamics and constant of motion in dissipative systems//J. Math. Phys.— 1983.— 24, N 7.— P. 1772—1778.

Митропольський Ю. О., Прикарпатський A. К., Філь Б. M. Деякі аспекти градієнтно-голономного алгоритму в теорії інтегровності нелінійних динамічних систем та проблеми комп’ютерної алгебри // Укр. мат. журн.— 1991.— 43, № 1.— С. 78—91.

Неустойчивости в динамических системах / Под ред. В. Джесебехея.—М. : Мир, 1982.— 168 с.

Varosi F., Grebogi С., Yorke J. A. Simplicial appoximation of Poincare maps of differential equations // Phys. Lett. A.— 1987.— 124, N 1, 2.— P. 59—67.

Brown R., Ott E., Grebogi C. Ergodic adiabatic invariants of chaotic systems // Phys, Rev. Lett.— 1987.— 59, N 11.—P. 1173—1176.

Longcope D. W., Sundan R. N. Arnold diffusion in 3/2-dimension // Ibid.— N 14.—P. P. 1500—1503.

Ito H. Nonintegrability of Henon—Heiles systems and a theorem of Ziglin // Koddi Math J.— 1985.— 8, N 2.— P. 120—138.

Ito H. A criterian for non-integrability of Hamiltonian systems with nonhomogeneous potential // J. Appl. Math. Phys.— 1987.— 38, N 5.— P. 459—476.

Yoshida H. Nesessary condition for the existence of algebraic first integrals // CelesL Meeh.— 1983.— 31, N 3. P. 363—399.

Yoshida H. Existence of exponentially unstable periodic solutions and the non-integrablity of homogeneous Hamiltonian systems // Physica D.— 1986.— 21, N 2.— P. 163—170..

Козлов В. В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // Успехи мат. наук.— 1986.— 41, № 5.— С. 177—178.

Зиглин С. Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела // Тр. Моск. мат. о-ва — 1980.— 41, № 2.— С. 287—303.