Точные неравенства разных метрик типа Ремеза с несимметричными ограничениями на функции

Анотація

УДК 517.5

Для довiльних $p\in (0, \infty],$ $\omega > 0,$ $\beta \in (0, 2 \omega)$, i будь-якої вимірної множини $B \subset I_d := [0, d],$ $\mu B \le \beta,$ отримана точна нерівність типу Ремеза
$$
\|x_{\pm}\|_\infty \le
\frac{\|(\varphi+c)_{\pm}\|_\infty}{\|\varphi+c\|_{L_p(I_{2\omega}
\setminus B^c_y)}} \left\|x \right\|_{L_{p} \left(I_d \setminus B
\right)}
$$
на класах $S_{\varphi}(\omega)$ $d$-періодичних функцій $x$, що мають нулі, із заданою синусоподібною $2\omega$-періодичною функцією порівняння $\varphi$, де $c\in [-\|\varphi\|_\infty,
\|\varphi\|_\infty]$ задовольняє умову
$$
\|x_{+}\|_\infty \cdot
\|x_{-}\|^{-1}_\infty = \|(\varphi+c)_{+}\|_\infty \cdot
\|(\varphi+c)_{-}\|^{-1}_\infty ,
$$
$B^c_y:=\{t\in [0, 2\omega]: |\varphi(t)+c| > y \}$, а $y$ обрано так, що $\mu B^c_y = \beta$.

Як наслідок, отримані точні нерівності такого типу на соболєвскихкласах диференційовних періодичних функцій та на просторах тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів із заданим відношенням норм $\|x_{+}\|_\infty / \|x_-\|_\infty$.