Точные неравенства типа Колмогорова с ограниченной старшей производной в случае малых гладкостей

Анотація

Одержано нові непокращувані нерівності типу Колмогорова для диференційовних періодичних функцій. Зокрема, доведено, що при $r = 2,\; k = 1$ або $r = 3,\; k = 1,\; 2$ та при довільних $q,p \in [1, \infty]$ для функцій $x \in L_{\infty}^r$, справедлива непокращувана нерівність $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_q \leqslant \frac{{\left\| {{\phi }_{r - k} } \right\|_q }}{{\left\| {{\phi }_r } \right\|_p^\alpha }}\left\| x \right\|_p^\alpha \left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_\infty ^{1 - \alpha }$$ де $\alpha = \min \left\{ 1 - \frac kr, \frac{r - k + 1\backslash q}{r + 1 \backslash p} \right\}$ ($ϕ_r$— ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$).