A remark on covering of compact Kähler manifolds and applications

V. V. Hung; H. N.  Quy

doi:10.37863/umzh.v73i1.6038

V. V. Hung Tay Bac Univ., Univ. Danang – Univ. Sci. and Education, Vietnam
H. N. Quy Tay Bac Univ., Univ. Danang – Univ. Sci. and Education, Vietnam

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i1.6038

Ключові слова: Complex Monge-Amp`ere operator, ω-plurisubharmonic functions, compact K¨ahler manifolds

Анотація

УДК 517.9

Зауваження щодо покриття компактних келерових многовидiв та їх застосування

Нещодавно Колодзей довів, що на компактному келеровому многовиді $M$ розв'язки комплексного рівняння Монжа – Ампера із правою частиною у $L^p,$ $p>1,$ є неперервними за Гельдером з експонентою, що залежить від $M$ та $\|f\|_p$ (див. [Math. Ann., 342, 379-386 (2008)]).
Після цього, за допомогою методу регуляризації з [J. Algebraic Geom., 1, 361-409 (1992)], автори роботи [J. Eur. Math. Soc., 16, 619-647 (2014)] знайшли оптимальну експоненту розв'язків.
У цій роботі ми будуємо покриття компактного келерового многовиду $M,$ яке залежить лише від кривини $M.$
Далі, як застосування, використовуючи аргументацію з [Math. Ann., 342, 379-386 (2008)], доводимо, що розв'язки є неперервними за Гельдером з експонентою, що залежить лише від функції $f$ у правій частині та верхньої межі кривини $M.$

Посилання

E. Bedford, B. A. Taylor, The Dirichlet proplem for the complex Monge – Amp`ere operator, Invent. Math., 37, 1 – 44 (1976), https://doi.org/10.1007/BF01418826 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01418826

E. Bedford, B. A. Taylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math., 149, 1 – 40 (1982), https://doi.org/10.1007/BF02392348 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02392348

U. Cegrell, The general definition of the complex Monge – Amp`ere operator, Ann. Inst. Fourier, 54, 159 – 179 (2004). DOI: https://doi.org/10.5802/aif.2014

J.-P. Demailly, Complex analytic and differential geometry, http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/demailly/books.html.

J. -P. Demailly, Regularization of closed positive currents and intersection theory, J. Algebraic Geom., 1, 361 – 409 (1992).

J. -P. Demailly, S. Dinew, V. Guedj, H. H. Pham, S. Kolodziej, A. Zeriahi, H¨older continuous solutions to Monge – Amp`ere equation, J. Eur. Math. Soc., 16, 619 – 647 (2014), https://doi.org/10.4171/JEMS/442 DOI: https://doi.org/10.4171/JEMS/442

T. C. Dinh, V. A. Nguyen, N. Sibony, Exponential estimates for plurisubharmonic functions and stochastic dynamics, J. Different. Geom., 84, 465 – 488 (2010). DOI: https://doi.org/10.4310/jdg/1279114298

V. Guedj, S. Kolodziej, A. Zeriahi, H¨older continuous solutions to the complex Monge – Amp`ere equations, Bull. London Math. Soc., 40, 1070 – 1080 (2008), https://doi.org/10.1112/blms/bdn092 DOI: https://doi.org/10.1112/blms/bdn092

S. Kołodziej, The Monge – Amp`ere equation, Acta Math., 180, № 1, 69 – 117 (1998), https://doi.org/10.1007/BF02392879 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02392879

S. Kołodziej, The Monge – Amp`ere equation on compact K¨ahler manifolds, Indiana Univ. Math. J., 52, № 3, 667 – 686 (2003), https://doi.org/10.1512/iumj.2003.52.2220 DOI: https://doi.org/10.1512/iumj.2003.52.2220

S. Kołodziej, The complex Monge – Amp`ere equation and pluripotential theory, Mem. Amer. Math. Soc. 178, № 840, (2005), https://doi.org/10.1090/memo/0840 DOI: https://doi.org/10.1090/memo/0840

S. Kołodziej, H¨older continuity of solutions to the complex Monge – Amp`ere equation with the right-hand side in $L^p$ : the case of compact K¨ahler manifolds, Math. Ann., 342, № 2, 379 – 386 (2008), https://doi.org/10.1007/s00208-008-0239-y DOI: https://doi.org/10.1007/s00208-008-0239-y

L. M. Hai, P. H. Hiep, H. N. Quy, Local property of the class $E_{χ, loc}$ , J. Math. Anal. and Appl., 402, № 2, 440 – 445 (2013), https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2013.01.048 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2013.01.048

P. H. Hiep, H¨older continuity of solutions to the complex Monge – Amp`ere operator on compact K¨ahler manifolds, Ann. Inst. Fourier, 60, № 5, 1857 – 1869 (2010).

H. Hein, Gravitational instantons from rational elliptic surfaces, J. Amer. Math. Soc., 25, № 2, 355 – 393 (2012), https://doi.org/10.1090/S0894-0347-2011-00723-6 DOI: https://doi.org/10.1090/S0894-0347-2011-00723-6

V. V. Hung, H. N. Quy, Convergence in capacity on smooth hypersurfaces of compact K¨ahler manifolds, Ann. Polon. Math., 103, № 2, 175 – 187 (2012), https://doi.org/10.4064/ap103-2-5 DOI: https://doi.org/10.4064/ap103-2-5

G. Tian, S. T. Yau, Existence of K¨ahler – Einstein metrics on complete K¨ahler manifolds and their applications to algebraic geometry, Mathematical Aspects of String Theory (San Diego, Calif., 1986), Adv. Ser. Math. Phys., vol. 1, 574 – 628 (1987). DOI: https://doi.org/10.1142/9789812798411_0028

G. Tian, S. T. Yau, Complete K¨ahler manifolds with zero Ricci curvature, I, J. Amer. Math. Soc., 3, № 3, 579 – 609 (1990), https://doi.org/10.2307/1990928 DOI: https://doi.org/10.2307/1990928

G. Tian, S. T. Yau, Complete K¨ahler manifolds with zero Ricci curvature, II, Invent. Math., 106, № 1, 27 – 60 (1991), https://doi.org/10.1007/BF01243902 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01243902

S. T. Yau, On the Ricci curvature of a compact K¨ahler manifold and the complex Monge – Amp`ere equation, Commun. Pure and Appl. Math., 31, № 3, 339 – 411 (1978).