Про підгрупи Фішера скінченних груп

Ю.  Мао; С.  Ма; N. Т.  Воробйов; Т. Б.  Караулова

doi:10.37863/umzh.v73i7.6192

Ю. Мао Iн-т квантової iнформатики, ун-т Шаньси Датун, Китай
С. Ма Iн-т квантової iнформатики, ун-т Шаньси Датун, Китай
N. Т. Воробйов Вiтеб. держ. ун-т iм. П. М. Машерова, Бiлорусь
Т. Б. Караулова Вiтеб. держ. ун-т iм. П. М. Машерова, Бiлорусь

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i7.6192

Ключові слова: множина Фiттiнга, множина Фiшера, F-iн’єктор, F-пiдгруппа Фiшера G

Анотація

УДК 512.542

Нехай $\mathscr{F}$ – множина Фіттінга групи $G,$ $\pi$ – деяка непорожня множина простих чисел і $L \leq G.$
$\mathscr{F}$ називається $\pi$ - множиною Фішера $G,$ якщо з того, що
$L \in \mathscr{F},$ $K \unlhd L$ і $H/K$ є $p$-підгрупою $L/K$ для деякого $p\in \pi,$
завжди випливає $H \in \mathscr{F}.$
Підгрупа $F$ групи $G$ називається $\mathscr{F}$-підгрупою Фішера $G,$
якщо справджуються такі твердження:
1) $F \in \mathscr{F};$
2) якщо $L$ є $\mathscr{F}$ підгрупою $G,$ нормалiзовною $F,$ то $L\leq F.$

Множина Фiттiнга $\mathscr{F}$ групи $G$ називається $\pi$-насиченою, якщо $\mathscr{F} = \{H \leq G : H/H_\mathscr{F} \in \mathfrak{E}_{\pi'} \},$ де $\mathfrak{E}_{\pi'}$ – клас усіх $\pi'$-груп.
У даній статті доведено, що якщо $\mathscr{F}$ є $\pi$-насиченою $\pi$-множиною Фішера $\pi$-розв'язної групи $G,$ то підгрупа $V$ групи $G$ є $\mathscr{F}$-ін'єктором $G$ тоді й тільки тоді, коли $V$ є $\mathscr{F}$-підгрупою Фішера $G,$ яка містить холлівську $\pi'$-підгрупу $G.$

Біографічна довідка автора

С. Ма, Iн-т квантової iнформатики, ун-т Шаньси Датун, Китай

Посилання

W. Anderson, Injectors in finite soluble groups, J. Algebra, 36, 333 – 338 (1975), https://doi.org/10.1016/0021-8693(75)90136-2 DOI: https://doi.org/10.1016/0021-8693(75)90136-2

S. A. Chunikhin, O $pi$ -otdelimy`kh gruppakh, Dokl. AN SSSR, 59, 443 – 445 (1948).

K. Doerk, T. Hawkes, Finite soluble groups, Walter de Gruyter, Berlin; New York (1992), https://doi.org/10.1515/9783110870138 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110870138

R. Dark, Some examples in the theory of injectors of finite soluble groups, Math. Z., 127, 145 – 156 (1972), https://doi.org/10.1007/BF01112606 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01112606

B. Fischer, Klassen konjugierter Untergruppen in endlichen aufl¨osbaren Gruppen, Habilitationsschrift, Universit¨at Frankfurt (1966).

B. Fischer, W. Gasch¨utz, B. Hartley, Injektoren endlicher aufl¨osbarer Gruppen, Math. Z., 102, 337 – 339 (1967), https://doi.org/10.1007/BF01111070 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01111070

W. Gasch¨utz, Zur Theorie der endlichen aufl¨osbaren Gruppen, Math. Z., 80, 300 – 305 (1963). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01162386

B. Hartley, On Fischer’s dualization of formation theory, Proc. London Math. Soc., 3, №. 2, 193 – 207 (1969), https://doi.org/10.1112/plms/s3-19.2.193 DOI: https://doi.org/10.1112/plms/s3-19.2.193

T. B. Karaulova, Lokal`ny`e mnozhestva Fittinga i in`ektory` konechnoj gruppy`, Zhurn. Belorus. gos. un-ta. Matematika. Informatika, 3, 29 – 38 (2018).

M. G. Semenov, Formula in`ektora konechnoj $pi$ -razreshimoj gruppy`, Problemy` fiziki, matematiki i tekhniki, 21, № 4, 77 – 88 (2014).

N. Yang, W. Guo, N. T. Vorob’ev, On $Cal{F}$-injectors of Fitting set of a finite group, Commun. Algebra, 46, № 1, 217 – 229 (2018), https://doi.org/10.1080/00927872.2017.1319475 DOI: https://doi.org/10.1080/00927872.2017.1319475