Some simplest integral equalities equivalent to the Riemann hypothesis

S. K.  Sekatskii; S.  Beltraminelli

doi:10.37863/umzh.v74i9.6222

S. K. Sekatskii Laboratory of Biological Electron Microscopy, IPHYS, Ecole Polytechnique Fe ́de ́rale de Lausanne, Switzerland
S. Beltraminelli CERFIM, Research Center for Math. and Phys., Locarno, Switzerland)

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i9.6222

Анотація

УДК 511.3

Деякі найпростіші інтегральні рівності, що еквівалентні гіпотезі Рімана

Показано, що інтегральні рівності \begin{gather*}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\ln\left(\zeta\left(\dfrac{1}{2}+it\right)\right)}{a+it}\,dt=-2\pi\ln\frac{a+\dfrac{1}{2}}{a}, \\\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\ln\left(\zeta\left(\dfrac{1}{2}+it\right)\right)}{(a+it)^\epsilon}\,dt=-\frac{2\pi}{1-\epsilon}\left(\left(a+\frac{1}{2}\right)^{1-\epsilon}-a^{1-\epsilon}\right).\end{gather*} еквівалентні гіпотезі Рімана для довільного дійсного $a>0$ і довільного дійсного $0<\epsilon<1,$ $\epsilon \neq 1$.

Посилання

S. K. Sekatskii, S. Beltraminelli, D. Merlini, On equalities involving integrals of the logarithm of the Riemann $zeta$-function and equivalent to the Riemann hypothesis, Ukr. Math. J., 64, № 2, 218 – 228 (2012). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-012-0642-0

S. K. Sekatskii, S. Beltraminelli, D. Merlini, On equalities involving integrals of the logarithm of the Riemann $zeta$-function with exponential weight which are equivalent to the Riemann hypothesis, Int. J. Anal., 2015, Article~980728 (2015). DOI: https://doi.org/10.1155/2015/980728

S. K. Sekatskii, S. Beltraminelli, D. Merlini, A few equalities involving integrals of the logarithm of the Riemann $zeta $-function and equivalent to the Riemann hypothesis I, II, III}; arXiv: 0806.1596v1, 0904.1277v1, 1006.0323v1.

E. C. Titchmarsh, E. R. Heath-Brown, The theory of the Riemann Zeta-function, Clarendon Press, Oxford (1988).

M. Balazard, E. Saias, M. Yor, Notes sur la fonction de Riemann, Adv. Math., 143, 284 – 287 (1999). DOI: https://doi.org/10.1006/aima.1998.1797

V. V. Volchkov, On an equality equivalent to the Riemann hypothesis, Ukr. Math. J., 47, № 4, 491 – 493 (1995). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01056314

R. J. Backlund, "{U}ber die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, Acta Math., 41, 345 – 375 (1918). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02422950

I. S. Gradshtein, I. M. Ryzhik, Tables of integrals, series and products, Acad. Press, New York (1990).